$ \left\{\begin{matrix}\frac{2}{a+5b}+\frac{1}{2a+5b}=7\\ \\ \frac{1}{a+5b}-\frac{4}{2a+5b}=-1\end{matrix}\right.\ $
maka nilai dari $a^{2}+2ab+b^{2} $ adalah ....
Jawab:
misalkan x = $ \frac{1}{a+5b} $ dan y = $ \frac{1}{a+5b} $
maka $ \left\{\begin{matrix}\frac{2}{a+5b}+\frac{1}{2a+5b}=7\\ \\ \frac{1}{a+5b}-\frac{4}{2a+5b}=-1\end{matrix}\right.\ $ = $ \left\{\begin{matrix}2x + y = 7 ...... persamaan 1\\ \\ x - 4y = -1 .... persamaan 2\end{matrix}\right.\ $
Dengan mengeliminasi persamaan 1 dan persamaan 2 maka diperoleh :
$ \left\{\begin{matrix}2x + y = 7 \\ \\ x - 4y = -1\end{matrix}\right.\ $ $ \begin{matrix}kalikan 1\\ \\ kalikan 2\end{matrix}\ $ $ \begin{matrix}2x + y = 7\\ \\ 2x - 8y = -2\end{matrix}\ $ <=> 9y = 9 atau y = 1
subtitusi y = 1 ke persamaan 1 diperoleh
2x + y = 7
<=> 2x + 1 = 7
<=> 2x = 6
<=> x = 3
Dari pengandaian x = $ \frac{1}{a+5b} $ maka diperoleh
3 = $ \frac{1}{a+5b} $
<=> a + 5b = $ \frac{1}{3} $...... persamaan 3
Dari pengandaian y = $ \frac{1}{2a+5b} $ maka diperoleh
1 = $ \frac{1}{a+5b} $
<=> 2a + 5b = 1
<=> a + a + 5b = 1
<=> a + $ \frac{1}{3}$= 1
<=> a = $ \frac{2}{3} $ . .... persamaan 4
dengan demikian, dari persamaan 3 dan persamaan 4 diperoleh
a + 5b = $ \frac{1}{3} $
$ \frac{2}{3} $ + 5b = $ \frac{1}{3} $
<=> 5b = - $ \frac{1}{3} $
<=> b = - $ \frac{1}{15} $
maka diperoleh
$a^{2}+2ab+b^{2} $ = $ (a+b)^2 $ = $ \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{15}\right)^2 $ = $ \left(\frac{9}{15}\right)^2 $ = $ \left(\frac{9}{25} \right) $
2. jika f(x) = $sin^2(cos (2x))$, maka f'(x) = ...
jawab
Misalkan u = cos 2x, v = 2x dan t = sin u
dengan demikian u = cos v dan t = sin u sehingga y = $sin^2(u)$ = $t^2$
<=> $\frac{dv}{dx}$ = 2 , $\frac{du}{dv}$= - sin v , $\frac{dt}{du}$ = cos u dan $\frac{dy}{dt}$ = 2t
Sehingga f'(x) = $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{dy}{dt}$ . $\frac{dt}{du}$ . $\frac{du}{dv}$ . $\frac{dv}{dx}$
= 2t . cos u . (- sin v) . 2
= -4 sin u . cos (cos 2x) . sin 2x
= -4 sin (cos 2x) . cos (cos 2x) . (- sin 2x)
= -2 sin (2 cos 2x) . (- sin 2x)
3. Diketahui $\int_{-1}^1 f(x+1)dx=M$. Apabila fungsi dari f(x) = f(x + 1), maka nilai dari $\int_{0}^4 f(x+6)dx$ adalah ...
jawab:
misalkan m = x+1. maka f (x) = f (x+1) = f (m)
berdasarkan definisi maka f (m) = f(m +1) = f ((x+1 )+1) = f(x +2) .... dan seterusnya sehingga
$\int f(x)dx=\int f(x+1)dx= ....=\int f(x+6)dx$ ................... persamaan 1
$\int_{0}^{4} f(x+6)dx=\int_{0}^{2} f(x+6)dx+\int_{2}^{4} f(x+6)dx=\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{2}^{4}f(x)dx$ .............. persamaan 2
Misalkan u = x + 1 <=> x = u - 1 sehingga x = $ \left\{\begin{matrix}1 \\ \\ -1\end{matrix}\right.\ $ $ \begin{matrix}bila \\ \\ bila\end{matrix}\ $ $ \begin{matrix}u=2 \\ \\ u= 0\end{matrix}\ $
Dengan demikian diperoleh f
$\int_{-1}^1 f(x+1)dx=\int_{0}^{2}f(u)du $ karna f(x) = f(x+1) = f(u), maka diperoleh
M $ =\int_{0}^{2}f(x)dx $ ...................... persamaan 3
dari persamaan 1 dan 3menjadi jelas bahwa :
$ \int_{0}^{2}f(x)dx $ = $ \int_{2}^{4}f(x+2)dx $
M = $ \int_{2}^{4}f(x+2)dx $
M = $ \int_{2}^{4}f(x)dx $
Akibatnya
$\int_{0}^{4} f(x+6)dx=\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{2}^{4}f(x)dx$
= M + $\int_{2}^{4}f(x)dx$
= M + M
= 2M
jawab:
Ta = 5 To dimana Ta : tabungan akhir dan To = tabungan awal
Rumus suku bunga : Ta = To ${1+b}^n $ dimana B = bunga dan n = jangka waktu
Besarnya bunga per 3 bulan = $\frac{3}{12} \times B = \frac{1}{12} \times B $
dengan demikian jumlah suku bunga dalam sewindu (n = 8 bulan):
Ta = To ${1+B}^n $
5 To = To ${1+\frac{3}{4}B}^8 $
$ 5^{\frac{1}{8}} $ = 1 + $\frac{3}{4} B $
<=> B = $\frac{4}{3} $ ( $ 5^{\frac{1}{8}}- $1)
5. Jika suatu deret geometri m, m+n, 2m +n +2 dengan m, m+n, 2m +n adalah aritmatika maka nilai n adalah ....
jawab
Misalkan pula b adalah selisih dari barisan aritmatikanya, maka
b = (m + n) - m = (2m + n) - (m + n)
n = m
misalkan r adalah rasio dari barisan geometri tersebut, maka
r = $\frac{m+n}{m} = \frac{2m+n+2}{m+n} $
<=> $(m+n)^2 = 2m^2+mn+2m $ karena n = m maka
<=> $(2n)^2 = 2n^2+n^2+2n $
<=> $ 4n^2 = 3n^2 +2n $
<=> $n^2 = 2n $
<=> $n^2-2n-0 $
<=> (n-2) (n)=0
<=> n = 2 atau n = 0
untuk n = 0 jelas tidak memenuhi aturan deret geomerti dan aritmatika pada definisi soal.
Maka jawabannya adalah n = 2
5. Jika $x^2-px +p-1=0 $ mempunyai 2 akar dengan perbandingan 1 : 3, maka kedua akar tersebut adalah ...
jawab
Misalkan akar-akar tersebut adalah x1 dan x2, dengan 3 x1 = x2. Maka berdasarkan sifat hasil -jumlah-kali akar-akar diperoleh:
$x^2-px +p-1=0 $ <=> a = 1, b = -p, c = p - 1
(x1 - x2) = -$\frac{b}{a} $ (x1 $\times $ x2) = $\frac {c}{a} $
(x1 - x2) = $\frac{p}{1} $ (x1 $\times $ x2) = $\frac {p -1}{1} $
(x1 - 3x2) = p (x1 $\times $ 3 x1) = p - 1
4x1 = p 3 x1$^2 = p -1 $
dengan metode subtitusi maka diperoleh
3 x1$^2 = p -1 $
3 x1$^2 $= 4 x1 -1
3 x1$^2 - $4 x1 + 1 = 0
(3 x1 - 1)(x1 - 1) = 0
x1 = $\frac {1}{3}$ atau x1 = 1
sehingga diperoleh p = 4 atau p = $\frac{4}{3}$ dan x2 = 1 atau x2 = 3
Maka himpunan penyelesaiannya adalah HP = {(x1, x2) | { $\frac {1}{3}$, 1) atau (1,3)}
6. Jika |$\vec{x}+\vec{y}|^2=(\vec{x} . \vec{y}) $ dan $(|\vec{x}|+|\vec{y}|)^2=|\vec{x}||\vec{y}|$, maka sudut antara vektor $\vec{x}$ dan $\vec{y}$ adalah ...
jawab
Perhatikn gambar berikut ini
Berdasarkan sifat penjumlahan diperoleh
$|\vec{x}+\vec{y}|^2=|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+2|\vec{x}|.|\vec{y}|$ . cos $\theta $ .......... persamaan 1
diketahui |$\vec{x}+\vec{y}|^2=(\vec{x} . \vec{y}) $, .....................,.,,,.........persamaan 2
subtitusi persamaan 1 dan persamaan 2 menghasilkan
$|\vec{x}+\vec{y}|^2=|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+2|\vec{x}|.|\vec{y}|$ . cos $\theta $
<=> $(\vec{x} . \vec{y}) $ = $|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+2|\vec{x}|.|\vec{y}|$ . cos $\theta $ .....................persamaan 3
Dari soal diketahui pula
$(|\vec{x}|+|\vec{y}|)^2$ = $|\vec{x}||\vec{y}|$
<=> $|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+2 .|\vec{x}|.|\vec{y}|=|\vec{x}||\vec{y}|$
<=> $|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+|\vec{x}|.|\vec{y}|= 0$
<=> $|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2= -|\vec{x}|.|\vec{y}|$ ........................persamaan 4
subtitusi persamaan 3 dan persamaan 4 diperoleh
$(\vec{x} . \vec{y}) $ = $|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+2|\vec{x}|.|\vec{y}|$ . cos $\theta $
<=> $(\vec{x} . \vec{y}) $ = - $|\vec{x}|.|\vec{y}|+2|\vec{x}|.|\vec{y}|$ . cos $\theta $
<=> $(\vec{x} . \vec{y}) $ = $|\vec{x}|.|\vec{y}|(2$ . cos $\theta - 1$ )
<=> (2 . cos $\theta - 1$ ) = $\frac{(\vec{x} . \vec{y})}{|\vec{x}|.|\vec{y}|} $
Berdasarkan sifat dot product $(\vec{x} . \vec{y}) = |\vec{x}|.|\vec{y}| $ . cos $\theta $ , maka
(2 . cos $\theta - 1$ ) = $\frac{ |\vec{x}|.|\vec{y}|. cos \theta}{|\vec{x}|.|\vec{y}|} $
<=> (2 . cos $\theta - 1$ ) = cos $\theta$
<=> cos $\theta $ = 1
<=> $\theta $ = $0^o$ atau $\theta $ = $360^o$
7. Suatu hiperbola memiliki persamaan $\frac{x^2-2ax+a^2}{9}-\frac{y^2-2bx+b^2}{4}=1$ memiliki asimtot yang memotong sumbu Y di titik (0,1). Nilai 3b - 2a adalah ...
jawab
Persamaan pada bola dengan titik pusat (a, b) adalah
$\frac{(x-a)^2}{A^2}-\frac{(y-b)^2}{B^2}=1$
atau $\frac{x^2-2ax+a^2}{A^2}-\frac{y^2-2bx+b^2}{B^2}=1$
maka dari soal nilai A = 3 dan B = 2 dam memiliki titik pusat (a, b)
Persamaan Asimtot parabola yang berpusat di (a, b) adalah
y - b = $\pm \frac{B}{A}$. (x - a)
<=> y - b = $\pm \frac{2}{3}$. (x - a)
Asimtot melalui sumbu Y di titik (0,1) dengan demikian
y - b = $\pm \frac{2}{3}$. (x - a)
<=> 1 - b = $\pm \frac{2}{3}$. (0 - a)
<=> 3 - 3b = $\pm $. 2a
dengan demikian 3 - 3b = -(3 - 3b)
<=> 6b = - 6
<=> b = 1
<=> 3 - 3b = $\pm 2a$
<=> 3 - 3.1 = $\pm 2a$
<=> a = 0
jadi 3b - 2a = 3 . 1 -2 . 0 = 3
8. Sebuah fungsi polinom bila dibagi dengan ($x^2-5x+4$) mempunyai sisa(bx -2). Namun bila dibagi dengan (x -1) memiliki sisa 3. Berapakah sisanya bila dibagi dengan (x - 4)?
jawab
Misalkan f(x) adalah fungsi polinom, p(x) adalah fungsi pembagi, h(x) adalah fungsi hasil dan s(x) adalah fungsi sisa, maka berdasarkan aturan hasil-bagi fungsi didapatkan
f(x) = p(x). h(x)+s(x)
- untuk p(x) = (x -1) dan s(x) = 3 maka
f(x) = p(x). h(x)+s(x)
<=> f(x) = (x -1) . h(x)+ 3
<=> f(x) = (x - 1) . h(x)+ 3
<=> f(1) = 3 .................................. persamaan 1
- untuk p(x) = ($x^2-5x+4$) dan (bx -2) maka
f(x) = p(x). h(x)+s(x)
<=> f(x) = ($x^2-5x+4$) . h(x)+ (bx -2)
<=> f(x) = (x - 1) (x - 4) . h(x)+ (bx -2)
<=> f(1) = 0 + (b.1 -2)
<=> f(1) = (b - 2)
dari persamaan 1 diperoleh
<=> 3 = (b -2) <=> b = 5 ................................persamaan 2
- dengan cara yang sama
f(x) = (x - 1) (x - 4) . h(x)+ (bx -2)
<=> f(4) = 0 + (b.4 -2)
<=> f(4) = (4 b - 2)
dari persamaan 2 diperoleh
<=> f(4) = (4 . 5 -2) = 18
Jadi jika dibagi dengan (x - 4) akan bersisa 18
9. Tentukan nilai dari $\lim_{x\to 0} \frac{x . tan x}{1-cos 3x}$!
jawab
Untuk x = 0 maka fungsi f(x) = $ \frac{x . tan x}{1-cos 3x}$ berbentuk f (x) = $ \frac{0}{0}$.
Karena itu Aturan D'Hospital bisa digunakan
- misalkan t (x) = tan x maka t ' (x) = sec$^2$ x.
sehingga f(x) = x tan x berakibat f '(x) = tan x + x . sec$^2$ x.
- Misalkan pula u(v) = cos v maka u '(v) = - sin v dan untuk v(x) = 3x maka v'(x) = 3
sehingga g(x) = 1 - cos 3x berakibat g '(x) = 3 sin 3x
- Dengam menggunakan D'Hospital diperoleh
$\lim_{x\to 0} \frac{x . tan x}{1-cos 3x}$ = $\lim_{x\to 0} \frac{tan x + x . sec^2 x}{3 . sin 3x}$
perhatikan, pada bentuk $\frac{f'(x)}{g'{x}} =\frac{tan x + x . sec^2 x}{3 . sin 3x}$, ketika x = 0 maka nilai $\frac{f'(x)}{g'{x}} =\frac{0}{0}$. Maka perlu diturunkan satu kali lagi menjadi
$\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x \to 0}\frac{f''(x)}{g''(x)}$
untuk y = sec$^2$ x = $\frac{1}{cos^2 x} $ <=> y' =$ \frac {2.sin x . cos x} {cos^4 x} = tan x . sec^2 x $
akibatnya f '(x) = tan x + x . sec$^2$ x => f ''(x) = sec$^2$ x + sec$^2$ x + x . tan x . sec$^2$ x
=> f ''(x) = sec$^2$ x (2 + x . tan x )
untuk m = 3. sin 3x maka m ' = 9 cos 3x
Dengan demikian diperoleh
<=> $\lim_{x\to 0}\frac{tan x + x . sec^2 x}{3 . sin 3x} =\lim_{x \to 0}\frac{ sec^2 x . (2+tan x)}{9 cos 3x}$ = $\frac{1 . (2+0)}{9} = \frac {2}{9}$
