Garis istimewa pada segitiga beserta teorema dan pembuktiannya

Salah satu materi pembahasan mengenai segitiga adalah garis istimewa. Garis ini merupakan suatu garis yang menghubungkan sudut atau titik sudut dari sebuah segitiga dengan sisi dihadapannya menurut kaidah/aturan tertentu. Keistimewaan garis ini bukan hanya terletak pada definisi garis tersebut, melainkan keterhubungan antara garis-garis yang terdapat pada segitiga itu sendiri. Keterhubungan itu biasanya berkaitan dengan kaidah kesebangunan.

Ada beberapa jenis garis istimewa pada segitiga yang dikenal secara umum. Beberapa diantaranya dibahas sebagai berikut:

A. Garis bagi  Sudut

Sebuah garis pada segitiga dikatakan sebagai garis bagi sudut bila garis tersebut menghubungkan suatu titik sudut pada segitiga dengan sisi dedepanya dan membagi sudutnya sama besar.

Garis CD adalah garis bagi $\bigtriangleup  ABC$.  Garis ini membagi sudut $\angle ACB$ menjadi dua sama besar sehingga $\angle ACD =\angle DCB$.  Teorema $\displaystyle \frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}$ $CD^2=(AC\times BC)-(AD \times BD)$

Bukti:

Dengan membuat garis bantu yang sejajar CD  melalui titik A dan  memotong perpanjangan garis BC, maka akan didapatkan gambar sebagai berikut:

Perhatikan gambar di samping. Garis CD dan AE saling sejajar. Garis AC dan BE memotong garis CD dan AE. Maka berdasarkan sifat-sifat sudut pada sebuah garis yang memotong  2 buah garis yang sejajar, jelas bahwa $\angle ACD = \angle CAE = \angle AEC$. Akibatnya segitiga   ACE  adalah segitiga sama kaki. Dengan demikian EC = AC. Kemudian, berdasarkan sifat kesebangunan  diperoleh: $\displaystyle \frac{AD}{DB}=\frac{EC}{BC}$

Untuk membuktikan bagian kedua tentang panjang garis bagi sudut, teorema Stewart dapat secara ampuh digunakan untuk membuktikannya. Langkah pembuktiannya ditunjukan sebagai berikut:

dari teorema garis bagi pada bagian 1 diperoleh

$\displaystyle \frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$   $\Leftrightarrow$    $\displaystyle BD =\frac{AD.BC}{AC}$ ............ persamaan 1

dengan mensubtitusikan persamaan terakhir kedalam teorema Stewart maka diperoleh:

Stewart theorem

         $\displaystyle CD^2 =\frac{BD.AC^2+AD.BC^2-AB.AD.BD}{AB}$

dengan mensubtitusikan persamaan 1 ke dalam teorema Stewart, maka diperoleh:

$\Leftrightarrow$     $\displaystyle CD^2 =\frac{\frac{AD.BC}{AC}.AC^2+AD.BC^2-AB.AD.BD}{AB}$

$\Leftrightarrow$     $\displaystyle CD^2 =\frac{(AD.BC).AC+(AD.BC).BC-AB.AD.BD}{AB}$

$\Leftrightarrow$     $\displaystyle CD^2 =\frac{(AD.BC).(AC+.BC)-AB.AD.BD}{AB}$

$\Leftrightarrow$     $\displaystyle CD^2 =\frac{(AD.BC).AB-AB.AD.BD}{AB}$

$\Leftrightarrow$     $\displaystyle CD^2 =\frac{AB.((AD.BC)-.(AD.BD)}{AB}$

$\Leftrightarrow$     $\displaystyle CD^2 =(AD.BC)-.(AD.BD)$

Dengan demikian telah terbukti seluruh teorema mengenai garis bagi sudut.


B. Garis berat

Garis berat adalah garis yang menghubungkan salah satu sudut pada sebuah segitiga dengan sisi yang berada dihadapannya dan membagi dua panjang sisi tersebut sama besar. Apollonius, seorang matematikawan Yunani mulai memperkenalkan terkait dengan hubungan antara garis berat dengan sisi-sisi pada segitiga Hasil analisisnya kemudian terkenal dengan nama teorema Apollonius.  Dalam perkembangannya, konsep mengenai garis berat itu sendiri melahirkan beberapa teorema sebagai berikut:

Andaikan D, E, dan F berturut-turut merupakan titik tengah dari BC, CA dan AB. Titik G merupakan titik potong garis AD, BE dan CF. Maka $\displaystyle \frac{CG}{GF}=\frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac {2}{1}$ $\displaystyle AD^2=\frac {1}{2}\left (AB^2+AC^2\right )-\frac{1}{4} BC^2 $

Teorema bagian pertama dapat dibuktikan dengan mengunakan teorema Melenaus atau Ceva. 

karena $BD = CD \Leftrightarrow BC = 2 CD$   ,  dan    $\displaystyle  AF=FB  \Leftrightarrow=\frac {AF}{FB}=1$, maka dari teorema Melaneus diperoleh

             $\displaystyle \frac {DG}{AG}\times\frac{AF}{FB}\times \frac{BC}{CD}=1$ $_{(Melaneus -theorem)}$

$\Leftrightarrow$         $\displaystyle \frac {DG}{AG}\times1\times \frac{2CD}{CD}=1$

$\Leftrightarrow$         $\displaystyle \frac {DG}{AG}\times1\times \frac{2}{1}=1$

$\Leftrightarrow$         $\displaystyle \frac {DG}{AG}\times1\times =\frac{1}{2}$

Dengan cara yang serupa untuk garis berat lainnya akan menghasilkan  $\displaystyle \frac {BG}{GE}=\frac {CG}{GF} =\frac{1}{2}$

Teorema bagian ke dua dari garis berat sebenarnya merupakan perluasan dari teorema Apollonius. K
Karena $BC = 2 BD$, maka berdasarkan teorema Apollonius, diperoleh 

             $AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2)$  $_{Apellonius-theorem)}$

$\Leftrightarrow$         $\displaystyle \frac{1}{2}.AB^2+\frac {1}{2}.AC^2=AD^2+\left ( \frac{1}{2}BD \right)^2 $

$\Leftrightarrow$         $\displaystyle  AD^2=\frac{1}{2}.AB^2+\frac {1}{2}.AC^2-\frac{1}{4}BD ^2 $

C. Garis Tinggi

Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari titik sudut pada segitiga ke sisi dihadapannya secara tegak lurus.

 

Garis BE, AD dan CF merupakan garis tinggi pada segitiga ABC, Pada segitiga ABC ini, berlaku hubungan berikut: $\displaystyle AD:BE:CF=\frac{1}{BC}=\frac{1}{AC}=\frac{1}{AB}$ $\displaystyle AD=\frac{2S\sqrt{S(S-BC)(S-AC)(S-AB)}}{BC}$ dimana $displaystyle S=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$

Bukti

Untuk membuktikan teorema bagian 1 pada garis tinggi, cukup dengan menggunakan konsep luas segitiga dimana masing-masing sisi dianggap sebagaia alasi dari garis tingginya.

Luas $\bigtriangleup ABC$ =  Luas $\bigtriangleup ABC$ 
 
$\Leftrightarrow$ $\displaystyle \frac {1}{2} AB. CF = \frac {1}{2} BC. AD$ 

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle AB. CF = BC. AD$  $\Leftrightarrow$ $\displaystyle  CF:AD = \frac {1}{AB}:\frac {1}{BC}$ 

Luas $\bigtriangleup ABC$ =  Luas $\bigtriangleup ABC$ 
 
$\Leftrightarrow$ $\displaystyle \frac {1}{2} AB. CF = \frac {1}{2} AC. BE$ 

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle AB. CF = AC. BE$  $\Leftrightarrow$ $\displaystyle  CF:BE = \frac {1}{AB}:\frac {1}{BE}$ 

Dengan demikian diperoleh kesimpulan

$\Leftrightarrow$  $\displaystyle  AD:CF:BE =\frac{1}{BC}: \frac {1}{AB}:\frac {1}{BE}$ 

Untuk bagian kedua dari teorema tentang garis tinggi ini, pembuktiannya dapat menggunakan perhitungan luas segitiga jika diketahui kelilingnya,  Penjelasan mengenai bagaimana menentukan luas segitiga ABC bisa dilihat di tautan sebelumnya atau klik di sini. $\Leftarrow$

Pada kasus segitiga ABC seperti gambar di atas, maka jelas AD adalah garis tinggi dan BC sebagai alasnya. Dengan demikian Luas $_{\bigtriangleup ABC} =\displaystyle \frac {1}{2} BC. AD$ dan Luas$_{\bigtriangleup ABC}=  \sqrt {S(S-BC)(S-AC)(S-AB)}$    maka jelas

        $\displaystyle \frac {1}{2} BC. AD$ ==  \sqrt {S(S-BC)(S-AC)(S-AB)}$

$\Leftrightarrow$    $ \displaystyle AD =\frac {2.\sqrt {S(S-BC)(S-AC)(S-AB)}}{BC}$   

 








Materi lain berkenaan dengan segitiga dapat dilihat di link berikut ini

1. Cara menentukan luas segitiga dengan menggunakan konsep trigonometri
2. Teorema Meleneus dan Ceva
3. Teorema garis berat menurut Apollonius
4. Garis istemewa pada segitiga beserta pembuktian teoremanya
5. Teorema Stewart dan pembuktiannya