Matriks dan Operasi pada Matriks

 A. Notasi dan Definisi Matriks

Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut. Ukuran matriks bergantung pada jumlah baris dan kolom dalam susunan tersebut. Misalnya suatu matriks memiliki 2 baris dan 3 kolom, maka ukuran matriks tersebut adalah $2 \times 3$. Angka pertama selalu menunjuk pada jumlah baris, dan angka kedua menunjuk jumlah kolom. Matriks yang hanya memiliki 1 baris disebut matrik baris, sebaliknya matriks yang hanya memiliki 1 kolom disebut matriks kolom. Matriks yang memiliki jumlah baris dan kolomnya sama disebut matriks bujur sangkar/persegi

Suatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar, sementara anggota dari matriks tersebut ditulis dengan menggunakan huruf kecil. Anggota dari  matriks A pada baris ke- i dan kolom ke j akan dinyatakan dengan $a_{ij}$. Jadi sebuah matriks A berukuran $2\times 3$ dapat ditulis dengan cara sebagai berikut:

$\displaystyle \begin {pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end {pmatrix}$

Sebuah matriks berukuran $m\times n$ akan dinyatakan sebagai berikut:

                                                                         $\displaystyle A=\begin {pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\  a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}  \end {pmatrix}$

Seandainya kita  hanya ingin menuliskan 1 baris atau 1 kolom saja dari matriks A, maka biasanya ditulis dengan huruf kecil tebal seperti berikut ini

                                                 a  $\displaystyle = \begin {pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \end {pmatrix}$                            b $\displaystyle =\begin {pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ \vdots \\ b_{m1} \end {pmatrix}$  

Pada matriks persegi/bujur sangkar,  diagonal utama adalah anggota-anggota matriks yang berada pada baris dan kolom yang sama. Suatu matriks dikatakan matriks identitas (ditulis dengna I) bila seluruh anggota diagonal bernilai 1 dan yang lainnya 0. Sementara matriks 0 adalah matriks yang seluruh anggotanya bernilai 0.

       I $\displaystyle = \begin {pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 1  \end {pmatrix}$                            I $\displaystyle = \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {pmatrix}$              I $\displaystyle = \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {pmatrix}$              

       0  $\displaystyle  = \begin {pmatrix} 0 & 0 \\  0& 0\\0 & 0 \end {pmatrix}$                        0  $\displaystyle = \begin {pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0& 0& 0\\0 & 0& 0 \end {pmatrix}$              0  $\displaystyle = \begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0& 0 \end {pmatrix}$

B. Operasi pada matriks

Setelah mengetahui definisi mengenai matriks, maka pada pembahasan selanjutnya akan dijelaskan mengenai bentuk operasi yang terdapat pada matriks. Beberapa bentuk itu diantaranya adalah 

1. Penjumlahan dan pengurangan
   Jika A dan B adalah matriks yang berukuran sama, maka jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B yang berpadanan. Sementara hasil dari A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota-nggota A dengan anggota-anggota B yang berpadanan.  
   
   Contoh 1: diketahui Matriks A dan B sebagai berikut :
   
            A = $ \begin {pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 1 \end {pmatrix}$     $\displaystyle B=\begin {pmatrix}  1 & 6 \\ 5 & 3 \end {pmatrix}$. Hitunglah A+B dan A- B !
   
   jawab  
   
              $\displaystyle A+B = \begin {pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 1 \end {pmatrix}+ \begin {pmatrix}  1 & 6 \\ 5 & 3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix}  2+1 & 4+6 \\ 8+5 & 1+3 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}  3 & 10 \\ 13 & 4 \end {pmatrix}$. 
   
              $\displaystyle A-B = \begin {pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 1 \end {pmatrix}- \begin {pmatrix}  1 & 6 \\ 5 & 3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix}  2-1 & 4-6 \\ 8-5 & 1-3 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}  1 & -2 \\ 3 & -2 \end {pmatrix}$. 
   
   
   Catatan:
   Dari definisi tersebut, jika ukuran matriks A dan B berbeda, maka kedua matriks tersebut tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
   
   
   
   
2. Perkalian matriks dengan skalar
   Jika A adalah sebuah matriks dan c adalah sembarang skalar, maka hasil kali c A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota A dengan c.
   
   
   Contoh:  Bila matriks   $\displaystyle A = \begin {pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 1 \end {pmatrix}$, Tentukanlah matriks $B = 4A$.
   
   
   jawab
               $\displaystyle 4 A = 4\times \begin {pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 1 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix}  4 \times 2 & 4 \times 4 \\ 4 \times8 & 4 \times 1 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}  8 & 16 \\ 32 & 4 \end {pmatrix}$. 
   
   
   
   
3. Perkalian Matriks dengan Matriks
   Jika A adalah sebuah matriks $m\times r$ dan B adalah matriks $r\times n$, maka hasil kali AB adalah matriks $m\times n$ yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikut:
   
   
   "Anggota pada baris ke- i dan kolom ke - j dari perkalian AB adalah dengan memilih terlebih dahulu  baris ke- i matriks A dan kolom ke j matriks B. Setelah itu kalikan anggota-anggota yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersamaan dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. 
   
   Contoh 2
   
   Diketahui:   $\displaystyle A = \begin {pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 6 & 0 \end {pmatrix}$      dan  $B=\begin {pmatrix}  1 & 6 \\ 5 & 3 \\ 2 &1 \end {pmatrix} $. Hitunglah $A \times B$
   
   Jawab
   
   Matriks A baris ke- 1 = a$_1= \displaystyle \begin {pmatrix} 1&2&4  \end {pmatrix}$        Matriks B kolom ke- 1 = b$_1= \displaystyle \begin {pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end {pmatrix}$
   
   Matriks A baris ke- 2 = a$_2= \displaystyle \begin {pmatrix} 2&6&0  \end {pmatrix}$        Matriks B kolom ke- 2 = b$_2= \displaystyle \begin {pmatrix} 6 \\ 3 \\ 1 \end {pmatrix}$
   
   
   Maka hasil perkalian matriks A dan B adalah
   
   $\displaystyle A\times B = \begin {pmatrix}  a_1 \times b_1 & a_1 \times b_2\\ a_2 \times b_1  & a_2 \times b_2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 2 & 4 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end {pmatrix}  &&&& \begin {pmatrix} 1 & 2 & 4 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 6 \\ 3 \\ 1 \end {pmatrix} \\  \\ \begin {pmatrix} 2 & 6 & 0 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end {pmatrix}  &&&& \begin {pmatrix} 2 & 6 & 0 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 6 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}    \end {pmatrix}$
   
   
                $\displaystyle =\begin {pmatrix} 1.1+2.5+4.2 &&& 1.6+2.3+ 4.1 \\ \\ 2.1+6.5+0.2 &&& 2.6+6.3+0.1 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 19 &&16 \\ 32 && 30 \end {pmatrix}$ 
   
   
   Metode perhitungan diatas dapat juga dibuat dalam bentuk berikut ini
   
   $\displaystyle A\times B = \begin {pmatrix}  A \times b_1 &  A \times b_2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 6 & 0 \end {pmatrix} \times  \begin {pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end {pmatrix} &&& \begin {pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 6 & 0 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 6\\3\\1 \end  {pmatrix}  \end {pmatrix}$
   
   
                                                  $\displaystyle =\begin {pmatrix} 1 \begin {pmatrix} 1\\2 \end {pmatrix}+5\begin{pmatrix} 2\\6 \end {pmatrix} + 2 \begin {pmatrix} 4 \\ 0 \end {pmatrix} &&&  6 \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \end {pmatrix} + 3 \begin {pmatrix} 2\\6 \end {pmatrix} + 1 \begin {pmatrix} 4\\0 \end {pmatrix}      \end {pmatrix}$
   
   
                                                   $ \displaystyle =\begin {pmatrix} 1+10+8 &&  6+6+4 \\2+30+0 &&12+18+0 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 19 && 16\\32 &&30 \end {pmatrix}$
   
   
   Catatan penting :
   

   Dari definisi perkalian matriks kita dapat menarik kesimpulan bahwa matriks A dapat dikalikan dengan matriks B bila matriks A memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom matriks B.  Jika matriks C adalah hasil perkalian matriks A yang berukuran $m \times q$ dan matriks B yang berukuran $q \times n$ maka matrix C akan memiliki ukuran $m\times n$. Ada kalanya operasi $A\times B$ dapat didefinisikan tetapi $B \times A$ justru tidak bisa didefinisikan. Oleh karena itu $A\times B$ belum tentu hasilnya sama dengan $B \times A$. Nah... kapan  $A\times B = B \times A$? 
   
   Salah satu teorema penting di dalam matriks menyatakan bahwa  jika B adalah invers dari A, maka $AB=BA = I$ dimana I adalah adalah matriks identitas. Invers dari A biasanya ditulis dengan simbol $A^{-1}$. Kadangkala penyebutan invers bermakna matriks balikan. Jadi bila dikatakan B adalah invers dari A, maka hal itu berarti B merupakan matriks balikan dari A.   

   
   
   
4. Perpangkatan Matrix
   Dalam aritmatika bilangan, perpangkatan merupakan hasil perkalian n faktor dari suatu bilangan tertentu. Demikian juga dengan matriks. Perpangkatan yang terdapat pada aritmatika bilangan berlaku juga pada matriks dengan suatu kondisi tertentu sesuai dengan kaidah yang berlaku pada perkalian matriks. Dengan demikian definisi perpangkatan matriks adalah
   
                           $A^n = \begin {matrix} \underbrace{A\times A \times A \times ....\times A} \\ n. faktor \end {matrix}$
   
                           $(A^{-1})^n = \begin {matrix} \underbrace{A\times A^{-1} \times A^{-1} \times ....\times A^{-1}} \\ n. faktor \end {matrix}$
   
                           $A^m \times A^n = A^{m+n}$ 
   
   Contoh bila dikeahui bila diketahui $A = \begin {pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5\end {pmatrix}$ hitunglah  $A^4$
   
   jawab
   $A^2 = A \times A =\displaystyle \begin {pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} \begin {pmatrix} 3 & 2 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 3 \\ 1 \end {pmatrix} && \begin{pmatrix} 3 &2 \end {pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end {pmatrix} \\ \begin {pmatrix} 1 & 5 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 3 \\ 1 \end {pmatrix} && \begin {pmatrix} 1 & 5 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 2 \\ 5 \end {pmatrix} \end {pmatrix} =\begin {pmatrix} 3.3 +2.1 && 3.2 + 2.5 \\1.3 +5.1 &&1.2+5.5 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 11 && 16 \\ 8 &&27 \end {pmatrix}$
   
   $A^4 = A^2 \times A^2 =\displaystyle \begin {pmatrix} 11 & 16 \\ 8 & 27 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 11 & 16 \\ 8 & 27 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} \begin {pmatrix} 11 & 16 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 11 \\ 8 \end {pmatrix} && \begin{pmatrix} 11 &16 \end {pmatrix} \times \begin{pmatrix} 16 \\ 27 \end {pmatrix} \\ \begin {pmatrix} 8 & 27 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 11 \\ 8 \end {pmatrix} && \begin {pmatrix} 8 & 27 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 16 \\ 27 \end {pmatrix} \end {pmatrix} =\begin {pmatrix} 11.11 +16.8 && 11.16 + 16.27 \\8.11 +27.8 &&8.16+27.27 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 249 && 608 \\ 304 &&857 \end {pmatrix}$
   
   
   
5. Transpose Matriks
   
   Jika A adalah sebarang matrix $m\times n$ maka transpos A dinyatakan dengan $A^T$, didefinisikan sebagai matriks $n \times m$ yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A, yaitu, kolom pertama dari $A^T$ adalah baris pertaa dari A, kolom kedua dari $A^T$ adalah baris ke dua dari A dan seterusnya.
   
   Contoh 3 Tentukan transpose dari matriks berikut ini:
   
   $A = \begin {pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 8 & 7\\ 0 & 1 & 6 \end {pmatrix}$            $B= \begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 8 & 9 \end {pmatrix}$
   
   Jawab :
   
   $A^T=\begin {pmatrix} 2  & 3 & 0\\ 3 & 8 & 0\\ 4 & 7 & 6 \end {pmatrix}$                $B^T=\begin {pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 5\\3 & 8 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$
   
   
   Pada kasus khusus dimana A  adalah matriks bujur sangkar, maka $A^T$ dapat diperoleh dengan mempertukankan secara simetris anggota-anggotanya disekitar diagonal utamanya. Artinya, mariks $A^T$ dapat diperoleh dengan mencerminkan A terhadap diagonal utamanya.

Ada beberapa kaidah yang berlaku berkenaan dengan transpose, yakni

• $(A^T)^T=A$
• $(A+B)^T =A^T+B^T$
• $(kA)^T =k A^T$    dengan k adalah besaran skalar
• $AB)^T = B^TA^T$
  
  

C. Sifat Operasi Matrix

Berikut ini merupakan beberapa sifat-sifat yang terdapat pada operasi matriks

• A + B                = B + A
  
• A + (B + C)      = (A + B) + C
• A(BC)              = (AB)C
• A(B+C)            = AB+AC
• (B+C)A            = BA + CA
• A(B-C)             = AB-AC
• (B-C)A             = BA - CA
• a(B+C)             = aB + aC
• a(B-C)              = aB - aC
• (a+b) C             = a C + b C
• (a - b) C            = a C - b C 
• a (bC)               = (ab) C
• a (BC)              = (a B) C        =  B (a C) 

Matriks nol dan Identitas

Bila diperhatikan secara sekilas, operasi matriks di atas, hampir mirip dengan operasi pada aritmatika bilangan. nMun perlu ditegaskan kembali bahwa tidak semua operasi aritmatika bilangan berlaku pada operasi matriks. Sebagai contoh, di dalam operasi aritmatika bilangan berlaku hukum sebagai berikut: 

• Jika $ab =ac$ dan $A\neq 0$ maka $b=c$
• Jika $ad=0$ maka paling tidak salah satu faktor di ruas kiri adalah 0

Salah satu contoh yang menunjukan bahwa kedua hukum terebut tidak berlaku dalam kasus matriks adalah sebagai berikut:

Contoh : diketahui matriks A $\displaystyle = \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end {pmatrix}$    B $\displaystyle = \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end {pmatrix}$     C $\displaystyle =\begin {pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end {pmatrix}$  D $\displaystyle =\begin {pmatrix} 3 &7 \\ 0 & 0 \end {pmatrix}$. Hitunglah AB,  AC, dan AD!

Jawab
$A \times B = \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 0.1+1.3 &&  0.1+1.4\\ 0.1+2.3 && 0.1 +2.4 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end {pmatrix}$

$A \times C = \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 0.2+1.3 &&  0.5+1.4\\ 0.2+2.3 && 0.5 +2.4 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end {pmatrix}$

$A \times D = \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 3 & 7 \\ 0 & 0 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 0.3+1.0 &&  0.7+1.0\\ 0.3+2.0 && 0.7 +2.0 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end {pmatrix}$

Contoh di atas menunjukan bahwa meskipun $A \neq 0$, matriks B $\neq$ matriks C dan ada pasangan matriks  bernilai tidak sama dengan nol, jika dikalikan menghasilkan matriks 0. Oleh karena itu, penggunaan hukum aritmatika bilangan tidak sepenuhnya mutlak berlaku pada operasi matriks. Meskipun demikian, beberapa hukum lainnya didalam aritmatika bilangan juga masih berlaku pada operasi matriks dengan syarat bahwa operasi dasar matriks tersebut dapat dilakukan.  Beberapa diantaranya adalah :    

• 0 + A = A + 0   = A
• A - A  = 0
• 0 - A  = -A
• A - 0  =  A
• A.0    = 0
• AB = I  bila B = $A^{-1}$
• A I  =  I A   =  A
• $(A^{-1})^{-1} =A$
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$