Teorema Stewart dan pembuktiannya

 

Pada tahun  1746, seorang ahli matematika berkewarganegaraan Skotlandia, telah berhasil menemukan keterkaitan antara garis-garis yang terdapat pada segitiga dengan garis yang menghubungkan satu titik sudut dengan garis yang ada didepan titik sudut pada segitiga tersebut. Dia adalah Matthew Stewart. Hasil usahanya ini kemudian dikenal dengan nama Theorema Stewart.

Didalam theoremanya, Stewart mengatakan bahwa jika a, b, c adalah panjang sisi-sisi yang terdapat pada segitiga dan d adalah panjang  ruas garis yang menghubungkan titik sudut yang berhadapan dengan ruas garis yang memiliki panjang a sehingga garis itu terbagi menjadi 2 bagian, maka hubungannya adalah

                                      $b^2m+c^2n=a(d^2+mn)$ dimana $a =m+n$

 Ada berbagai cara untuk membuktikan teorema ini. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan aturan cosinus sebagaimana dijelaskan sebagai berikut:

$AC^2=CD^2+AD^2 -2.CD,AD. cos (180^o-\beta)$
         $\Leftrightarrow AC^2=CD^2+AD^2 -2.CD,AD , - cos \beta$
         $\Leftrightarrow AC^2=CD^2+AD^2 +2.CD,AD ,  cos \beta$              (kalikan kedua ruas dengan BD) 

         $\Leftrightarrow BD.AC^2 =BD.CD^2+BD.AD^2 +2.BD.CD,AD.cos \beta$  ........... Persamaan 1

$BC^2=CD^2+BD^2 -2.CD,BD. cos \beta$   (kalikan kedua ruas dengan AD) 
         $\Leftrightarrow AD. BC^2= AD.CD^2+AD.BD^2 -2.AD.CD,BD. cos \beta$ ........... Persamaan 2

Dengan mengeliminasi persamaan 1 dan persamaan 2 diperoleh:

Persamaan 1:      $BD.AC^2 =BD.CD^2+BD.AD^2 +2.BD.CD,AD.cos \beta$

Persamaan 2       $\underline {AD. BC^2= AD.CD^2+AD.BD^2 -2.AD.CD,BD. cos \beta}$ +
       
             $\Leftrightarrow$        $BD.AC^2+AD.BC^2=CD^2(AD+BD)+AD.BD.(AD+BD)$

             $\Leftrightarrow$        $BD.AC^2+AD.BC^2=CD^2.AB+AD.BD.AB$

Dari bentuk persamaan terakhir maka persamaan ruas garis CD yang menghubungkan  titik sudut C ke titik D yang berada di AB dapat dinyatakan sebagai berikut: 

                  $\displaystyle CD^2 =\frac{BD.AC^2+AD.BC^2-AB.AD.BD}{AB}$

        

Jika $m = BD, n=AD, a = m + n = AB,  b=AC, BC = c$, dan $d = CD$ maka persamaan di atas menjadi:    

                  $\displaystyle d^2 =\frac{m.b^2+n.c^2-(m+n).n.m}{m+n}$   

                  $ m.b^2+n.c^2=d^2(m+n)+(m+n)$ 

                 $ m.b^2+n.c^2 = (m+n)(d^2+mn)$

                 $ m,b^2+n.c^2 = (m+n)(d^2+mn)$

Dengan demikian terbukti teorema stewart tersebut. 






Materi lain berkenaan dengan segitiga dapat dilihat di link berikut ini

1. Cara menentukan luas segitiga dengan menggunakan konsep trigonometri
2. Teorema Meleneus dan Ceva
3. Teorema garis berat menurut Apollonius
4. Garis istemewa pada segitiga beserta pembuktian teoremanya
5. Teorema Stewart dan pembuktiannya