Teorema Garis berat menurut Apollonius

Seorang matematikawan bernama Apollonius dari Yunani (262-192 SM) telah berhasil mengungkapkan hubungan antara garis berat dengan sisi-sisi yang terdapat pada segitiga. Garis berat itu sendiri didefinisikan sebagai garis yang menghubungkan salah satu sudut dengan sisi dihadapannya, dan membagi panjang sisi tersebut sama besar. Menurut Apollonius, jika pada sebuah segitiga ABC, garis AD merupakan garis berat, maka

        Appolonius Theorem:       $AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2)$

Teorema yang diungkapkan Apollonius sebenarnya merupakan kasus khusus dari teorema Stewart. Bahkan untuk kasus segitiga sama kaki, teorema ini kemudian dapat direduksi menjadi teorema phytagoras. Pembuktian dari teorema ini dapat dilakukan dengan menggunakan aturan cosinus.

Berdasarkan aturan cosinus dan fakta bahwa $BD =CD$, maka

 

$AB^2 = AD^2 +BD^2 - 2.AD.BD. cos (180^o-\beta)$

   $\Leftrightarrow$     $AB^2 = AD^2 +BD^2 - 2.AD.BD. -cos \beta$

   $\Leftrightarrow$     $AB^2 = AD^2 +BD^2 + 2.AD.BD. cos \beta$    ..................persamaan 1


$AC^2 = CD^2 +BC^2 - 2.CD.BC. cos \beta$

   $\Leftrightarrow$     $AC^2 = AD^2 +CD^2 - 2.AD.CD. cos \beta$    

   $\Leftrightarrow$     $AC^2 = AD^2 +BD^2 - 2.AD.BD. cos \beta$    ..................persamaan 2


Dengan mengeliminasi persamaan 1 dan persamaan 2 maka akan diperoleh

           $AB^2 = AD^2 +BD^2 + 2.AD.BD. cos \beta$    ..................persamaan 1
           $\underline {AC^2 = AD^2 +BD^2 - 2.AD.BD. cos \beta}$ +   ..................persamaan 2

   $\Leftrightarrow$     $AB^2 +AC^2 = 2 (AD^2 +BD^2)$


Dengan demikian, teorema Apollonius sudah terbukti kebenarannya.






Materi lain berkenaan dengan segitiga dapat dilihat di link berikut ini

1. Cara menentukan luas segitiga dengan menggunakan konsep trigonometri
2. Teorema Meleneus dan Ceva
3. Teorema garis berat menurut Apollonius
4. Garis istemewa pada segitiga beserta pembuktian teoremanya
5. Teorema Stewart dan pembuktiannya