Sejak duduk di sekolah dasar, kita sudah mengenal rumus mencari luas segitiga. Biasanya, cukup dengan mengetahui alas dan tinggi segitiga, kita sudah dapat mencari luas segitiga yakni luas segitiga = $\displaystyle \frac{1}{2}\times a_{\bigtriangleup}\times t_{\bigtriangleup}$ dimana $a_{\bigtriangleup}$ dan $t_{\bigtriangleup}$ masing-masing adalah alas dan tinggi segitiga tersebut.
Namun, ketika kita mempelajari materi tentang trigonometri, rumus ini dapat dikembangkan lebih lanjut. Beberapa rumus mencari luas segitiga akan dibahas dalam penjabaran berikut ini.
A. Menentukan luas segitiga dengan aturan Sinus
Perhatikan gambar segitiga di atas
Berdasarkan konsep trigonometri maka didapatkan:
sin $\displaystyle \beta=\frac{AD}{BC}=\frac{t}{BC}$ $\Leftrightarrow$ t = BC . sin $\beta$
sin $\displaystyle \theta=\frac{AD}{AC}=\frac{t}{AC}$ $\Leftrightarrow$ t = AC . sin $\theta$
Sebagaimana kita ketahui luas segitiga adalah
luas segitiga = $\displaystyle \frac{1}{2}\times a_{\bigtriangleup}\times t_{\bigtriangleup}$
= $\displaystyle \frac{1}{2}\times AB \times BC .$ sin $\beta$ jika panjang BC diketahui
luas segitiga = $\displaystyle \frac{1}{2}\times a_{\bigtriangleup}\times t_{\bigtriangleup}$
= $\displaystyle \frac{1}{2}\times AB \times BC . $ sin $\theta$ jika panjang AC diketahui
dengan cara yang sama, jika sudut yang menghadap AB adalah $\alpha$ dan panjang BC dan AC diketahui, maka
luas segitiga = $\displaystyle \frac{1}{2}\times AC \times BC . $ sin $\alpha$
B. Menentukan Luas segitiga bila panjang semua sisinya diketahui
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita menemukan bentuk segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang sisi-sisinya. Padahal untuk menghitung luas segitiga kita memerlukan sekurang-kurangnya 1 bagian alas beserta tingginya atau dua sisi segitiga dan sudut yang mengapitnya. Apabila masalah seperti ini didapati, salah satu tekniknya adalah dengan menggunakan keliling segitiga dan menggunakan rumus berikut ini:
Keliling $\bigtriangleup ABC=K_{\bigtriangleup ABC}=AB+BC+AC $ dan $\displaystyle S= \frac{1}{2} \times K_{\bigtriangleup ABC}$
Luas $\bigtriangleup ABC = S.\sqrt{S.(S-AB).(S-BC).(S-AC)}$
Keliling $\bigtriangleup ABC=K_{\bigtriangleup ABC}=AB+BC+AC $ dan $\displaystyle S= \frac{1}{2} \times K_{\bigtriangleup ABC}$
Luas $\bigtriangleup ABC = S.\sqrt{S.(S-AB).(S-BC).(S-AC)}$
Untuk membuktikan rumus ini, kita perlu ingat bahwa
- sin$^2$ $\alpha$ + cos$^2$ $\alpha$ = 1 $\Leftrightarrow$ sin$^2$ $\alpha$ = 1 - cos$^2$ $\alpha$ $\Leftrightarrow$ sin$^2$ $\alpha$ = (1 - cos$\alpha$) (1 + cos$\alpha$)
- cos$\alpha$ $\displaystyle =\frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2.BC.AC}$
Sekarang perhatikan
sin$^2$ $\alpha$ = (1 - cos$\alpha$) (1 + cos$\alpha$)
$\Leftrightarrow$ sin$^2$ $\alpha$ = (1 - cos$\alpha$) (1 + cos$\alpha$)
$\Leftrightarrow$ sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left (1 - \left (\frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2.BC.AC} \right ) \right )\left (1 + \left (\frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2.BC.AC} \right ) \right )$
$\Leftrightarrow$ sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left ( \frac{2.BC.AC-(BC^2+AC^2-AB^2)}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{2.BC.AC+(BC^2+AC^2-AB^2)}{2.BC.AC} \right )$
$\Leftrightarrow$ sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left ( \frac{AB^2-(BC^2-2.BC.AC+AC^2)}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{-AB^2+(BC^2+2.BC.AC+AC^2)}{2.BC.AC} \right )$
$\Leftrightarrow$ sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left ( \frac{AB^2-(BC-AC)^2}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{-AB^2+(BC+AC)^2}{2.BC.AC} \right )$
$\Leftrightarrow$ sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left ( \frac{(AB+AC-BC)(AB+BC-AC)}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{(BC+AC+AB)(BC+AC-AB}{2.BC.AC} \right )$
$\Leftrightarrow$ sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left ( \frac{(K-2BC)(K-2AC)}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{K (K-2AB)}{2.BC.AC} \right )$
$\Leftrightarrow$ sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left ( \frac{(2S-2BC)(2S-2AC)}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{2S(2S-2AB)}{2.BC.AC} \right )$
$\Leftrightarrow$ sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left ( \frac{4(S-BC)(S-AC)}{2.BC.AC} \right )\left (\frac{4S(S-AB)}{2.BC.AC} \right )$
$\Leftrightarrow$ sin$^2$ $\alpha$ = $\displaystyle \left ( \frac{2}{BC.AC} \right )^2 \left ( S(S-BC)(S-AC)(S-AB)\right )$
$\Leftrightarrow$ sin $\alpha$ = $\displaystyle \frac{2}{BC.AC} \sqrt {S(S-BC)(S-AC)(S-AB)}$
Padahal luas segitiga = $\displaystyle \frac{1}{2}\times AC \times BC . $ sin $\alpha$. Maka diperoleh
Luas$_{\bigtriangleup ABC}= \displaystyle \frac{1}{2}\times AC \times BC . \left( \frac{2}{BC.AC} \sqrt {S(S-BC)(S-AC)(S-AB)} \right )$
$\Leftrightarrow$ Luas$_{\bigtriangleup ABC}= \sqrt {S(S-BC)(S-AC)(S-AB)}$
KESIMPULAN : Dari pembahasan kali ini sekurang-kurangnya ada 3 cara kita dalam menentukan besarnya luas segitiga ABC. yakni :
- Luas$_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\times a_{\bigtriangleup}\times t_{\bigtriangleup}$
- Luas$_{\bigtriangleup ABC}=\displaystyle \frac{1}{2}\times AC \times BC . $ sin $\alpha$
jika diketahui panjang AC dan BC serta sudut $\alpha$ sebagai sudut yang mengapitnya. - Luas$_{\bigtriangleup ABC}= \sqrt {S(S-BC)(S-AC)(S-AB)}$
Materi lain berkenaan dengan segitiga dapat dilihat di link berikut ini
No comments:
Post a Comment