Kerjakanlah soal berikut ini dengan baik dan benar!
- Jika a adalah bilangan bulat, buktikan bahwa $(a^9-a)$ dapat dibagi dengan 6!
- Sebuah lingkaran memotong segitiga ABC pada sisi AC dan BC. Titik potong pada garis AC adalah A dan BC berturut- turut adalah E. Diameter dari lingkaran tersebut adalah sisi AB dari segitiga tersebut. Panjang diameter lingkaran tersebut adalah 30 cm, Jika AD : AC = 1 : 3 dan BE : BC = 1: 4, tentukan luas lingkaran tersebut!
- Banyaknya pasangan terurut bilangan bulat yang memenuhi persamaan $a^2+b^2=a+b$ adalah ..
Diberikan trapesium ABCD dengan AB sejajar DC dan AB = 84 serta DC = 25. Jika ABCD memiliki lingkaran dalam yang menyinggung keempat sisinya, keliling trapesium ABCD adalah ...
Hitunglah nilai dari $1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+...-2022^2+2023^2= ...
Indrra menggambar suatu garis AB dengan panjang 15 cm. Dengan pusat A dan B dibuat busur lingkaran dengan jari-jari berturut-turut 8 cm dan 17 cm sedemikian sehingga kedua busur tersebut saling berpotongan di titik C. Jika i Indra ingin membuat suatu lingkaran yang melalui titik A, B, dan C, berapa luas lingkaran yang terbentuk? (nyatakan dalam $\pi)
Pada persegi ABCD, titik O adalah titik tengah sisi AB. Lingkaran L berjari-jari 1 berpusat di O melewati titik A dan titik B. Jika titik P pada lingkaran L sedemikian sehingga AOP merupakan segitiga sama sisi maka keliling segitiga DPC adalah ...
jawaban
- $(a^9-a)=a(a^8-1)=a(a^4-1)(a^4+1)=a(a^2-1)(a^4+1)(a^4+1)$
$=a(a-1)(a+1)(a^4+1)(a^4+1) = (a-1)a(a+1)(a^4+1)(a^4+1)$.
Perhatikan bahwa 3 faktor pertama, yakni $(a-1) a (a+1)$. Dari soal diketahui a adalah bilangan bulat. Maka jelas (a - 1), a. dan (a + 1) adalah tiga bilangan berurutan. Dengan demikan, salah satu dari ketiga bilangan berurutan itu pasti habis dibagi 3 sehingga hasil kali ketiga bilangan tersebut pasti habis dibagi 3. Selain itu, salah satu dari ketiga bilangan berurutan tersebut pastinya juga bilangan genap, yang artinya bisa dibagi 2. dengan demikian hasil perkalian dari $(a-1) a (a+1)$ juga habis dibagi 6. Kesimpulannya, karena $(a-1) a (a+1)$ adalah faktor dari $(a^9-a)$ dan $(a-1) a (a+1)$ habis dibagi 6, maka $(a^9-a)$ juga habis dibagi 6.
- Perhatikan gambar di bawah ini
$\angle AEB$ dan $\angle ADB$ masing-masing adalah sudut keliling lingkaran. Karena AB adalah diameter lingkaran, maka $\angle AEB =\angle ADB =90^o$. Dengan demikian $\triangle ADB$ dan $\triangle ABE$ adalah segitiga siku-siku. Dengan mengginakan Phytagoras didapatkan:
Perhatikan garis tinggi BD dan AE pada $\bigtriangleup ABC}
untuk garis tinggi BD untuk garis tinggi AE
$BD^2 = (4y)^2 - (2x)^2 = 16y^2 -4x^2$ $AE^2 = (3x)^2 - (3y)^2 = 9x^2 - 9^2y$
$BD^2 = 30^2 - x^2$ $AE^2 = 30^2 - y^2 $
$\Leftrightarrow$ $30^2 -x^2 = 16 y^2 -4x^2$ $\Leftrightarrow$ $30^2 -y^2 = 9x^2 -9y^2$
$\Leftrightarrow$ $30^2 = -3x^2+16 y^2 $ ....(*) $\Leftrightarrow$ $30^2 = 9x^2 -8y^2$ ....(**)
Dari persamaan (*) dan persamaan (**) diperoleh
$30^2 = -3x^2+16 y^2 $ kalikan 3 $3.30^2 = -9x^2+48 y^2 $
$30^2 = 9x^2 -8y^2$ kalikan 1 $\underline{30^2 = 9x^2 -8y^2}+$
$\Leftrightarrow$ $4 . 30^2 = 40 y^2$
$\Leftrightarrow$ $\displaystyle y^2=\frac{4 . 30^2}{40}=\frac{30^2}{10} $
$\Leftrightarrow$ $\displaystyle y=\frac{30}{10}\sqrt{10}=3\sqrt{10}$
Dengan demikian $\displaystyle AE = \sqrt{30^2-y^2}= \sqrt{30^2-\frac{30^2}{10}}=\sqrt{30^2.\left (1- \frac{30^2}{10}\right )}=30.\sqrt{\frac{9 }{10}}$
$\Leftrightarrow$ $\displaystyle =\frac {30.3}{10}.\sqrt{10}=9\sqrt{10}$
Jadi luas $\displaystyle \bigtriangleup ABC = \frac{1}{2}.BC'AE= = \frac{1}{2}.4.3\sqrt{10}.9\sqrt{10}=540$ cm$^2$
- $a^2+b^2=a+b$ $\Leftrightarrow$ $ a^2+b^2+(a-1)^2+(b-1)^2=2$
Pada persamaan terakhir jelas bahwa $ a^2+b^2+(a-1)^2+(b-1)^2 \geq 0$. Selain itu bentuk persamaan terakhir menyebabkan $0 \leq a^2 \leq 1$ dan $0 \leq b^2 \leq 1$. Karena pada soal diketahui a dan b adalah bilangan bulat maka hanya ada 2 kemungkinan untuk nilai a yakni $a^2= 0$ atau $a^2 = 1$.
jika $a^2=0$ maka a = 0
dengan demikian $ a^2+b^2+(a-1)^2+(b-1)^2=2$ $\Rightarrow$ $0^2+b^2+(0-1)^2+(b-1)^2=2$
|
$\Rightarrow$ $b^2+1+b^2-2b +1=2$
$\Rightarrow$ $b^2-b = 0$
$\Rightarrow$ b = 0 atau b = 1.
|
Jika $a^2= 1$ maka $a = -1$ atau $a = 1$
a. Untuk $a=-1$
$a^2+b^2+(a-1)^2+(b-1)^2=2$ $\Rightarrow$ $(-1)^2+b^2+((-1)-1)^2+(b-1)^2=2$
$\Rightarrow$ $1+b^2+4+b^2-2b +1=2$
$\Rightarrow$ $1+b^2+4+b^2-2b +1=2$
$\Rightarrow$ $b^2-b +2= 0$
Bentuk terakhir tidak menghasilkan akar-akar yang bernilai real karena $D=(-1)^2-4.1.2 \leq 0$.
Dengan demikian a = -1 bukan solusi dari persamaan tersebut.
b. Untuk $a=1$
$ a^2+b^2+(a-1)^2+(b-1)^2=2$ $\Rightarrow$ $(1)^2+b^2+((1)-1)^2+(b-1)^2=2$
$\Rightarrow$ $1+b^2+b^2-2b +1=2$
$\Rightarrow$ $b^2-b = 0$.
Bentuk persamaan terakhir menghasilkan b = 0 atau b = 1.
Dengan demikian himpunan pasangan terurut (a, b) yang memenuhi persamaan tersebut adalah {(0,0), (0,1),(1,0), (1,1)}.
- Perhatikan gambar berikiut
Jika titik P di luar lingkaran dan garis yang ditarik dari P menyinggung lingkaran tersebut di titik Q dan R maka PQ = PR. Dari gambar tersebut jelas diperoleh DG = DH ; BF = BE ; AE = AH ; Dengan demikian
keliling = AE + EB+ FB + CF + GC + DG + DH + AH
= 2 (AE+EB + CG +GD )
= 2 (AB + CD) = 2 (25+84) = 218
- $u_1=2^2-3^2 = (2-3)(2+3) = -5$
$u_2=4^2-5^2 = (4-5)(4+5) = -9$
$u_3=6^2-7^2 = (6-7)(6+7) = -13$
$u_4=8^2-9^2 = (8-9)(8+9) = -17$
$u_5=10^2-11^2 = (10-11)(10+11) = -21$
$\vdots$
$u_{1011}=2022^2-2023^2 = (2022-2023)(2022+2023) = -4045$
Dengan demikian terbentuk pola barisan baru 1, -5, -9, -13, ...,-4045. Barisan tersebut memiliki $u_1=1^2$ dan barisan aritmatika {$u_2, u_3, u_4,..., u_{1012}$} selisih 4 dan suku pertamanya -5.
Dengan demikian
$S_{1012}= 1^2+S_{1011}$
$ \displaystyle = 1+\frac {1011}{2}\times (2.-5+(1011-1)-4)$
$ \displaystyle = 1+\frac {1011}{2}\times (-10+(-4040))$
$ \displaystyle = 1+\frac {1011}{2}\times 2.-2025$
$ \displaystyle =1-1011\times 2.-2025$
$ \displaystyle =1- 2.047.275$
$ \displaystyle =-2,047275$
- Berdasarkan sifat-sifat pada lingkaran, maka $\bigtriangleup ABC$ adalah segitiga sku-siku. Karena $r_A =8 <r_B =17$ maka AC = 8 cm dan BC =17cm. Agar lingkaran baru yang dibuat nantinya melalui A, B, dan C maka berdasarkan hubungan sudut pusat dan sudut keliling, lingkaran yang baru akan menjadikan BC sebagai diameternya. Dengan demikian lingkaran terbesar yang dapat dibentuk tentu berdiameter 17 cm. Berdasarkan ilustrasi ini, maka luas lingkaran terbesar yang akan dibentuk adalah
Luas lingkaran =$\displaystyle \pi r^2 =\pi \left ( \frac{17}{2} \right )^2 =\frac{289}{4}\pi $ cm$^2$.
- Ada 2 kondisi yang mungkin terjadi
a. jika P berada didalam persegi ABCD
|
|
AB = 2
EO =AE =OP =1
$\displaystyle AE=EO=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{2}$
EP = $\displaystyle {\sqrt OP^2-EO^2}=\sqrt {1^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^2}=\sqrt {1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt 3$
Dengan demikian
FP = $\displaystyle 2 - \frac{1}{2}\sqrt 3 =\frac{4-\sqrt 3}{2}$
|
DF = AE = $\displaystyle \frac{1}{2}$ dan CF = $\displaystyle 2 - \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
CP =$\displaystyle \sqrt{FP^2+CF^2}$ = $\displaystyle \sqrt{\left ( \frac{4-\sqrt 3}{2} \right )^2+\left ( \frac{3}{2} \right )^2}= \frac {1}{2}\sqrt {16-8 \sqrt 3+3+9} $
$\displaystyle = \frac {1}{2}\sqrt {4(7-2 \sqrt 3)}=\sqrt {7-2 \sqrt 3} $
DP =$\displaystyle \sqrt{FP^2+DF^2}$ = $\displaystyle \sqrt{\left ( \frac{4-\sqrt 3}{2} \right )^2+\left ( \frac{1}{2} \right )^2}= \frac {1}{2}\sqrt {16-8 \sqrt 3+3+1} $
$\displaystyle = \frac {1}{2}\sqrt {4(5-2 \sqrt 3)}=\sqrt {5-2 \sqrt 3} $
Dengan demikian Keliling $\displaystyle \bigtriangleup CDP = CD+CP+DP =2 + \sqrt {7-2 \sqrt 3}+\sqrt {5-2 \sqrt 3}$
Pembahasan kondisi dimana P berada di luar persegi ABCD bisa dijadikan latihan. Model dan cara pengerjaannya hampir serupa. Sebagai cluenya, akan ditunjukan gambar penampakannya saat P berada di luar persegi ABCD beserta hasilnya. Selamat berlatih ...
No comments:
Post a Comment