Konsep Sudut dan hubungan antar 2 sudut pada dua garis yang saling berpotongan

A. Konsep dasar 

          Sudut merupakan hasil perpotongan dua sinar garis yang bertemu di suatu titik. Titik dimana dua sinar garis bertemu disebut dengan titik sudut. Ada beberapa teknik yang dipakai dalam menamakan sudut. Didalam dunia matematika, simbol sudut dilambangkan dengan "$\angle$" dan diikuti dengan huruf Kapital atau huruf  Yunani seperti $\angle A, \angle ABC, \angle \beta$, dll. Huruf kapital digunakan untuk merujuk pada titik yang dinamai huruf kapital. Misalnya $\angle A$ berarti merujuk pada sudut di titik A. Bila menggunakan 3 huruf kapital, maka huruf yang berada ditengah merujuk pada titik sudut yang dihasilkan dari perpotongan dua garis yang membentuk sudut tersebut. Misalnya $\angle ABC$ berarti sudut pada titik B yang dibatasi garis AB dan garis BC. Sedangkan bila menggunakan huruf Yunani, merujuk pada daerah yang dibatasi oleh dua garis yang berpotongan di titik sudutnya. Besarnya nilai sudut diukur dalam satuan derajat. Sudut 1 putaran penuh bernilai 360$^o$. 

Beberapa tekni penamaan sudut

B. Nama sudut berdasarkan nilainya

    Besarnya nilai sudut biasanya berkisar antara $-360^o$ sampai dengan $360^o$. Tanda negatif menunjukan perputaran searah jarum jam dari posisi awalnya, sebaliknya tanda positif, berarti perputaran berlawanan jarum jam. Bila besarnya sudut lebih dari $360^o$, hal itu berarti diputar berlawanan arah lebih dari satu kali putaran. Alat yang biasa dipakai untuk mengukur besarnya sudut adalah busur derajat.

Beberapa penamaan sudut sering kali dikaitkan dengan besarnya sudut. Beberapa diantaranya misalnya:

• sudut 1 putaran penuh : besarnya sudut 1 putaran penuh adalah $360^o$.
• Sudut siku-siku           : besarnya sudut = $90^o$
• Sudut pelurus              : sudut yang besarnya $180^o$
• Sudut lancip                : sudut yang besarya  antara $90^o$ sampai $180^o$ 
• Sudut tumpul              : Sudut yang besarnya lebih dari $90^o$ 
• Sudut reflektif             : Sudut yang besarnya antara $180^o$ sampai $360^o$  
  
  

C. Hubungan antara dua sudut

Pembicaraan mengenai sudut juga berkaitan dengan hubungan satu sudut dengan sudut lainnya. Beberapa istilah berkenaan dengan sudut dijelaskan sebagai berikut:

1. Sudut berpenyiku

Dua buah sudut dikatakan berpelurus apabila hasil penjumlahan besarnya kedua sudut sama dengan $90^o$

Pada gambar di atas, $\angle ABD + \angle CBD = 90^o$. Dengan demikian kedua sudut tersebut dikatakan saling berpenyiku. $\angle ABD$ dapat dikatakan sebagai penyiku dari $\angle CBD$, Demikian juga sebaliknya $\angle CBD$ dapat disebut sebagai penyiku dari $\angle ABD$ 

 

 2. Sudut berpelurus

Dua buah sudut dikatakan berpelurus bila jika besarnya kedua sudut itu dijumlahkan, hasilnya $180^o$. 

Pada gambar di atas $\angle BDC$ dan $\angle ADC$ dikatakan saling berpelurus sebab $\angle BDC+\angle ADC=180^o$. Semua sinar garis mememiliki sudut sebesar $180^o$

  3 Sudut saling bertolak belakang

Dua buah garis yang bersilangan memiliki dua pasang sudut yang saling bertolak belakang. Kedua sudut yang saling bertolak belakang memiliki nilai yang sama. Dengan kata lain jika $\angle A$ dan $\angle B$ bertolak belakang, maka $\angle A = \angle B$. 

Pasangan dua sudut yang saling bertolak belakang

Pada gambar di atas $\angle AOD$ dan $\angle EOB$ merupakan  pasangan sudut yang saling bertolak belakang. Begitu juga $\angle AOB$ dan $\angle DOE$ keduanya merupakan pasangan sudut yang saling bertolak belakang. Dengan demikian $\angle AOB = \angle DOE$ dan $\angle AOD = \angle BOE$.

Contoh soal

1. Tentukanlah besar $\angle COD$ pada gambar 1 dan $\COA pada  gambar 2!
   
   

   

   gambar 1                                             gambar 2

   
   Jawab.
    
   Pada gambar 1
   $\angle BOC$ adalah sudut siku-siku dan $\angle COD$ merupakan penyiku dari $\angle BOD$. Dengan demikian:
   
            $\angle BOD +\angle COD = 90^o$
   $\Leftrightarrow$      $50^o +\angle COD = 90^o$
   $\Leftrightarrow$     $ \angle COD = 90^o-50^o =40^o$
   
   Pada gambar 2
   $\angle AOB$ adalah garis lurus sehingga $\angle AOB=180^o$.  $\angle COD$ merupakan pelurus dari $\angle BOD$. Dengan demikian:
   
            $\angle BOC +\angle AOC = 180^o$
   $\Leftrightarrow$      $75^o +\angle AOC = 180^o$
   $\Leftrightarrow$     $ \angle COD = 180^o-75^o =105^o$
   
   
2. Perhatikan gambar berikut 
   
   
   
   
   Jika $\angle BDC = 145^o$ dan  $\angle ACD = 60^o$, berapakah besar sudut A?
   
   Jawab
   titik D terletak pada garis AB. Dengan demikian $\angle BDC $ dan $\angle ADC$ saling berpelurus. Hal ini menunjukan bahwa 
   
          $\angle BDC + \angle ADC=180^o$
   $\Leftrightarrow$      $145^o +\angle ADC = 180^o$
   $\Leftrightarrow$     $ \angle COD = 180^o-145^o =35^o$
   
   Hasil penjumlahan ketiga sudut segitiga adalah $180^o$. Dengan demikian pada $\bigtriangleup ADC$ juga berlaku 
   
          $\angle ADC +\angle DAC +\angle ACD =180^o$
   $\Leftrightarrow$      $35^o +\angle DAC +60^o = 180^o$
   $\Leftrightarrow$      $ 95^o+\angle COD =180^o$
   $\Leftrightarrow$     $ \angle COD = 180^o-95^o =85^o$
   
   
   
3. Perhatikan gambar berikut!
   
   
   
   
   
   Jika $\angle ACB=30^o$  dan $\angle EDC = 150^o$, berapakah nilah $x,y$ dan z.
   
   Jawab
   Garis EH dab garis AF berpotongan di titik D. Karena itu $\angle CDE$ dan $\angle KDF$ saling bertolak belakang. dengan demikian
   
          $\angle KDF= \angle CDE =180^o$
   $\Leftrightarrow$      $5z +25^o = 150^o$
   $\Leftrightarrow$      $ 5z =150^o-25^o=125^o$
   
   $\Leftrightarrow$        $ \displaystyle z = \frac{125}{5}=25^o$
   
   Titik C terletak pada garis BG. Dengan demikian $\angle BCA$ dan $\angle ACK$ saling berpelurus, sehingga berlaku sifat 
   
          $\angle BCA + \angle ACK =180^o$
   $\Leftrightarrow$      $30^o +\angle ACK = 180^o$
   $\Leftrightarrow$      $\angle ACK=180^o-30^o=150$
   
   Untuk mendapatkan nilai x, kita perlu mengetahui besar $\angle CKD$. Caranya sebagai berikut
   
   *) garis AF dan BG bepotongan di titik C, maka $\angle ACB =\angle KCD$. Dengan demikian $\angle KCD = \angle ACB = 30^o$.
   
   *) titik D terletak pada garis HE. Dengan demikian $\angle CDK$ dan $\angle CDE $ merupakan sudut saling berpelurus. Maka dari itu 
   
          $\angle CDK + \angle CDE =180^o$
   $\Leftrightarrow$      $\angle CDK +150^o  = 180^o$
   $\Leftrightarrow$      $\angle CDK=180^o-150^o=30$
   
   Kemudian $\angle KCB, \angle CDK$ dan $\angle CKD$ adalah sudut yang terdapat di dalam $\bigtriangleup KCD$. Dengan demikian berlaku sifat segitiga yaitu
   
          $\angle KCD + \angle CDK +\angle CKD=180^o$
   $\Leftrightarrow$      $30^o +30^o +\angle CKD= 180^o$
   $\Leftrightarrow$      $60^o+\angle CKD=180^o$
   $\Leftrightarrow$      $\angle CKD=180^o-60^o=120^o$
   
   Perhatikan bahwa garis HE dan BG berpotongan dititik K. Dengan demikian $\angle CKD$ dan $\angle BKG$ saling berpelurus. Maka  
       $\angle BKG+\angle CKD=180^o$
   $\Leftrightarrow$      $2x+120^o= 180^o$
   $\Leftrightarrow$      $2x=180^o-120^o=60$
   $\Leftrightarrow$      $\displaystyle \angle x=\frac{60}{2}=30^o$