Latihan Soal SIMAK 2020

1. Diketahui persamaan  berikut ini
   $\sqrt {x^2+2y^2+4}+\sqrt{x^3+x^2-y+5}=\sqrt {x^2+2y^2+4+2x+2y-4}+\sqrt{x^3+x^2-y+5+x+y-2}$
   
   maka nilai dari x + y adalah ...
   
   jawab:
   Misalkan $a=x^2+2y^2+4$    ,    $b= x^3+x^2-y+5 $ dan $c=x+y-2$
   maka diperoleh
   
   $\sqrt {x^2+2y^2+4}+\sqrt{x^3+x^2-y+5}=\sqrt {x^2+2y^2+4+2x+2y-4}+\sqrt{x^3+x^2-y+5+x+y-2}$
   
               $\sqrt {a}$          +              $\sqrt{b}$                =                   $\sqrt {a+2c}$                      +               $\sqrt{b+c}$
   
   Perhatikan, persamaan terakhir dapat dipenuhi bila c = 0. dengan demikian
   
              $c = x + y - 2 = 0$     $\rightarrow$      $x+y=2$
   
   
   
2.  Misalkan $P= \begin{pmatrix}1   &  2\\ -1 & 1 \end{pmatrix} $. Jika |P| menyatakan determinan matiks P , Tentukan nilai dari
   
                                  |$P^{-1}$| + |$P^{-1}$|$^2$ + |$P^{-1}$|$^3$ + ...
   
   jawab:
    
   $det(P) = p_{11}\times p_{22}-p_{12}\times p_{21} =(1 \times 1)-(2\times(-1))=1+2=3$
   
   dengan demikian   |$P^{-1}$| =$\frac{1}{3}$ sehingga  |$P^{-1}$|  |$P^{-1}$|$^2$ + |$P^{-1}$|$^3$ + ...   membentuk barisan turun.
   
   dengan menggunakan deret geometri didapat $u_1 =\frac{1}{3}$ dan $r=\frac{1}{3}$, maka jumlah suku barisan tak berhingga adalah
   
                  $\displaystyle S_{\infty}=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$
   
   
   
3. diketahui dua buah garis p dan q sejajar. Gais p melewati titik (-1, 1) dan garis q meleati titik (3, -3) dan titik (-1, 5). Jika garis p dan q memotong sumbu X di A dan B, serta memotong sumbu Y di C dan D berturut-turut, maka luas bangun ABCD adalah ...
   
   jawab:
   Misalkan garis p memiliki persamaan p (x) = $m_px+a$ dan garis q memiliki persamaan $g(x)=m_gx+b$. Karena garis p dan q sejajar maka gradien kedua garis tersebut sama. Dengan demikian $m_p = m_q = m$.  Dengan demikian persamaannya menjadi
   
                               p (x) = $mx+a$
                               q(x)  = $mx+b$
   
   Pada titik (-1,1)         p (-1) = $m(-1) +a$       $\rightarrow $          1 = $-m + a$    .... persamaan 1
   Pada titik (-1,5)         q (-1) = $m(-1) +a$       $\rightarrow $          5 = $-m + b$    .... persamaan 2
   Pada titik (3,-3)         q (-1) = $m(-1) +a$       $\rightarrow $         -3 = $3m + b$     .... persamaan 3
   
   dari persamaan 2 dan 3 diperolah
   
                    $5 = -m  + b$     .
                 $\underline{-3 = 3m + b}$   -               
                    8  = -4 m                     $\rightarrow$      m = -2  dan b = 3    ..... persamaan 4
   
   dengan mensubtitusikan persamaan 4 ke persamaan 2 diperoleh a = -1, dengan demikian persamaan garisnya menjadi 
   
                             p (x) = $-2x-1$
                             q(x)  = $-2x+3$
   
   titik potong kedua garis dengan sumbu X terjadi bila nilai y = 0. dengan demikian untuk y = 0      
   $\rightarrow$   p (x) = $-2x-1$   $\rightarrow $    0    = $-2x-1$  $\rightarrow $   x = $-\frac{1}{2}$  $\rightarrow $  titik potongnya (-$\frac{1}{2}$,0)
   $\rightarrow $   q (x) = $-2x+3$   $\rightarrow $    0    = $-2x+3$   $\rightarrow $   x = $\frac{3}{2}$    $\rightarrow $   titik potongnya ($\frac{3}{2}$,0)                   
   
   
   titik potong kedua garis dengan sumbu Y terjadi bila nilai x = 0. dengan demikian untuk x = 0      
   $\rightarrow$   p (x) = $-2x-1$   $\rightarrow $    y = $-2.0-1$  $\rightarrow $   y =-1  $\rightarrow $  titik potongnya (0, -1)
   $\rightarrow $   q (x) = $-2x+3$   $\rightarrow $    y = $-2.0+3$   $\rightarrow $  y = 3  $\rightarrow $   titik potongnya (0, 3)                   
   
   Grafik berikut menunjukan garis p dan garis q beserta titik potong ABCD
   
   
   

   

   gambar garis p dan garis q

   
   
   
   Jarak A ke titik C = |$x_A-x_C$| = |$-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}$|= 2
   Jarak B ke titik D = |$x_B-x_D$| = |$-1-3$|= 4
   
   Dengan demikian Luas ABCD = Luas $\triangle ABC$ + Luas $\triangle ACD $
   
                                                     = $\frac{1}{2}.AC.BO$ + $\frac{1}{2}.AC.OD$
   
                                                     = $\frac{1}{2}.2.1$ + $\frac{1}{2}.2.3= 4$ satuan luas
    
   
   
4. Diketahui persamaan kuadrat $x^2-x+1=0 memiliki akar-akar m dan n. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah $m^2+m-2$ dan $2n-3$ adalah ...
   
   jawab:
   akar-akar persamaan kuadrat dari $x^2-x+1=0$ adalah
   
   $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-41.1}}{2.1}=\frac{1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$
   
   jadi akar-akarnya adalah 
   
                   $m=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$  dan $n=\frac{1-\sqrt{-3}}{2}$
   
                                                  atau
   
                   $m=\frac{1-\sqrt{-3}}{2}$  dan $n=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$
   
   
   Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $x_1=m^2+m-2$  dan  $3n-3$
   
   Maka  $x_1=m^2+m-2=(\frac{1+\sqrt{-3}}{2})^2+(\frac{1+\sqrt{-3}}{2})-2$
   
              $\rightarrow$     $=(\frac{1+2\sqrt{-3}+(-3)}{4})+(\frac{2+2\sqrt{-3}}{4})-\frac{8}{4}$
   
              $\rightarrow$     $=-2+\sqrt{-3}$
   
   
              $x_2=2n-3=2(\frac{1-\sqrt{-3}}{2})-3$
   
              $\rightarrow$     $=\frac{2-2\sqrt{-3}}{2}-3$
   
              $\rightarrow$     $=-2-\sqrt{-3}$
   
   
   jadi persamaan kuadrat barunya adalah 
   
               $y=x^2-(x_1+x_2)x+(x_1\times x_2)$
   
   $\rightarrow$        $y=x^2-((-2+\sqrt{-3})+(-2-\sqrt{-3}))x+(-2+\sqrt{-3})\times (-2-\sqrt{-3})$
   
   $\rightarrow$        $y=x^2+4x+7$
   
   
   Untuk   $m=\frac{1-\sqrt{-3}}{2}$  dan $n=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ , bisa dijadikan sarana latihan di rumah ya...
   
   
   
5. Diketahui X adalah suatu variabel acak dengan tabel distribusi probabilitas sebagai berikut:
   
   
   
   Variansi dari X adalah ...
   
   jawab
   $\displaystyle \sum_{i=1}^{5} =(t-t^2)+(t-0,1)+(0,5-t)+(2t-t^2)+(2t^2)$
   
   $\rightarrow$   1  $=3t+0,4$
   $\rightarrow$   $t=0,2$
   
   Maka tabel distribusi probabilitasnya adalah 
   
   
   
   
   
   $Variansi = E(x^2)-E(x)*2=145,5-10,5^2=32,25$
   
   
   
   
6. diketahui $f(x)=f(-x)$. Jika $\int_{-4}^{4}f(x)dx=10$ dan $\int_{1}^{4} f(x)dx = 2$ maka $\int_{0}^{1}3f(x)-2 dx$ adalah ....
   
   Jawab
   
    $f(x)=f(-x)$   $\rightarrow$      $\int f(x)dx=\int f(-x)dx$     $\rightarrow$      $\int_{0}^{4}f(x)dx= \int_{-4}^{0}f(x)dx$
   
   $\int_{-4}^{4}f(x)dx=\int_{-4}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{4}f(x)dx$
   
       $\rightarrow$    10  $=2  \int_{0}^{4}f(x)dx$
   
       $\rightarrow$     $\int_{0}^{4}f(x)dx=5$
   
   
   Dengan demikian  $\int_{0}^{4}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{1}^{4}f(x)dx$
   
                                             5      = $ \int_{0}^{1}f(x)dx$  +       2
   
   
                                            $\rightarrow$       $ \int_{0}^{1}f(x)dx = 3$
   
   
   Sehingga diperoleh $\int_{0}^{1}3f(x)-2 dx=2\int_{0}^{1}f(x)-\int_{0}^{1}2 dx$
   
                                              $\rightarrow$             $= 3\times  3 - 2x]_0^1=9-2=7$
   

Pembahasan Soal HOTS matematika

1. Akar-akar persamaan kuadrat  $2x^2-2mx+3m$ adalah p dan q. Diketahui pula p > q membentuk barisan geometri dengan rasio $ r=\frac{1}{3}$. Bila p, q dan $\frac{1}{2}m-n$  membentuk barisan aritmatika, berapakah nilai n?
   
   jawab:
   
   Persamaan kuadrat $2x^2-2mx+3m$ didefinisikan dengan a = 2, b = -2m dan c = 3m. Karena akar-akarnya membentuk barisan geometri dengan $r=\frac{1}{3}$ dan p > n, maka:
   
                           $\displaystyle \frac {q}{p}=r=\frac{1}{3}$  $\rightarrow$   $\displaystyle \frac{p}{q}=3$...................persamaan 1
   
   Dari hasil jumlah kali akar diperoleh
   
                           $\displaystyle p+q=-\frac{b}{a}=\frac{(-2m)}{2}=m$ .................persamaan 2
   
                           $\displaystyle p\times q=\frac{c}{a}=\frac{(3m)}{2}$                 ................persamaan 3
   
   Subtitusikan persamaan 1 ke persamaan 2 diperoleh
   
                           $\displaystyle p+q=m$     (dibagi q)      $\rightarrow$   $\displaystyle \frac {p}{q}+1=\frac{m}{q}$   
   
                                                                        $\rightarrow$    $ 3+1$  = $\displaystyle \frac{m}{q}$        $\rightarrow$     $m = 4q$..........persamaan 4
   
   Subtitusikan persamaan 4 ke persamaan 3 diperoleh
   
                          $\displaystyle p\times q=\frac{(3m)}{2}$    
   
              $\rightarrow$      $\displaystyle p\times q=\frac{(3\times 4q)}{2}$        $\rightarrow$   $p=6$
   
   
   Subtitusikan nilai p = 6 ke persamaan 1 dan persamaan 2 diperoleh 
                          $\displaystyle \frac{p}{q}=3$    $\rightarrow$     $\displaystyle \frac{6}{q}=3$     $\rightarrow$     q = 2.
   
                           $p+q=m$     $\rightarrow$      $m=6+2=8$ 
   
   Karena p, q dan $\displaystyle \frac{1}{2}m-n$ membentuk barisan aritmatika, maka
   
                          $\displaystyle p-q=q-(\frac{1}{2}m-n)$      $\rightarrow$     $\displaystyle 6-2=2-\frac{1}{2}8+n$   $\rightarrow$  n = 6
   
   
   
   
2. Diketahui f(x)=$4x^2-3$ dan $g(x)=2^x$. Nilai dari $g^{-1}(f(x^2)+2f(x)+9$ adalah ...
   
   Jawab :
   
                $g(x)=2^x$    $\rightarrow$     $g^{-1}(x)=^2 log x$
   
           $\rightarrow$  $g^{-1}(f(x^2)+2f(x)+9$=$ ^2 log ((4(x^2)^2-3)+2(4x^2-3)+9)$
   
                                   $\rightarrow$                  = $ ^2 log ((4x^4-3)+8x^2-6+9)$
   
                                   $\rightarrow$                  = $^2 log (4x^4+8x^2)$
   
                                   $\rightarrow$                  = $^2 log (4x^2.(x^2+2))$
   
                                   $\rightarrow$                  = $^2 log ((2x)^2.(x^2+2))$
   
                                   $\rightarrow$                  = $2.^2 log$ $ 2x+^2 log (x^2+2)$
   
                                   $\rightarrow$                  = $2.(1+^2 log$ $ x)+^2 log (x^2+2)$
                          
   
    
3. Perhatikan himpunan persamaan berikut
          
            $\displaystyle \frac{1}{x}+ \frac{2}{y} +\frac{3}{z} =34$
   
            $\displaystyle \frac{3}{x}- \frac{1}{y} -\frac{4}{z} =-30$
   
            $\displaystyle \frac{1}{x}+ \frac{2}{y} -\frac{6}{z} =-38$
   
   Jika x, y, z berturut-turut membentuk barisan geometri, maka jumlah lima suku pertamanya adalah ...
   
   Jawab:
   misalkan $\displaystyle A=\frac{1}{x}$ ,  $\displaystyle B=\frac{1}{y}$ ,  $\displaystyle C=\frac{1}{z}$, maka
   
            $\displaystyle \frac{1}{x}+ \frac{2}{y} +\frac{3}{z} =34$                   A + 2B + 3C = 34  ..........persamaan 1
   
            $\displaystyle \frac{3}{x}- \frac{1}{y} -\frac{4}{z} =-30$       $\rightarrow$   3A - B - 4C = -30  ..........persamaan 2 
   
            $\displaystyle \frac{1}{x}+ \frac{2}{y} -\frac{6}{z} =-38$                A + 2B - 6C = -38 ..........persamaan 3
   
   
   dengan mengeliminasi persamaan 1 dan persamaan 3 diperoleh 9C = 72. sehingga C = 8. Dengan demikian persamaan 1 dan persamaan 2 menjadi
   
      A + 2B + 3.8 = 34   $\rightarrow$      A + 2B  =  10          3A + 6B  =  30  
    3A  -   B - 4.8 = -30   $\rightarrow$    3A +   B  =  12          3A -    B  =    2  -
                                                                                                            B  =   4
   
   Dengan demikian A + 2 . 4 =10   $\rightarrow$   A + 8 =10     $\rightarrow$  A = 2
   
   Maka nilai x, y, dan z adalah $\displaystyle\frac{1}{2}$ .  $\displaystyle\frac{1}{4}$ ,  dan  $\displaystyle\frac{1}{8}$
   
   dari bentuk terakhir diperoleh $\displaystyle r=\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$. Dengan demikian jumlah 5 suku  pertama adalah
   
             $\displaystyle S_5=\frac{a(1-r^5)}{1-r}=\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^5)}{1-(\frac{1}{2})}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
   
   
   
   
4. Senua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $\displaystyle \frac{-x^2+2px-6}{(x-2)(x^2-x-6)}\geq 0$ dengan $-1\leq p\leq 2$ adalah ...
   
   Jawab:
   
   Teori: persamaan kuadrat dikatakan definit positif    bila a > 0 dan D < 0. 
              persamaan kuadrat dikatakan definit negatiff bila a < 0 dan  D < 0. 
   
   Untuk $-x^2+2px-6$
               a.   Nilai a < 0
               b.   D < 0     $\rightarrow$    $b^2-4ac < 0$    
                                    $\rightarrow$    $(2p)^2-4.(-6).(-1) < 0$    
                                    $\rightarrow$    $4p^2-24 < 0$
                                    $\rightarrow$    $p^2-6 < 0$
   
                                    $\leftrightarrow$   $-\sqrt 6 < p < \sqrt 6$
   
   Pertidaksamaan terakhir sudah memenuhi kondisi $-1\leq p\leq 2$ dan fungsi $-x^2+2px-6$ jelas merupakan definit negatif untuk $-1\leq p\leq 2$.
   
   dengan demikian, agar $x^2+2px-6=((x-2)(x^2-x-6))\geq 0$ terpenuhi, maka
   
                $(x-2)(x^2-x-6)<0$   $\leftrightarrow$      $(x-2)(x-3)(x+2)<0$ 
   
   daerah penyelesaiannya adalah
   
   
   
   
   
   
   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {x| x <  -2 atau  2 < x < 3} 
   
   
   
5. Jika daerah penyelesaian
   
      $x+2y\geq 8$
   
      $px+y\geq -6$
   
      $x+2y\leq 18$
   
      $x,y\geq 0$
   
   berbentuk trapesium siku-siku di titik potong antara   $x+2y\leq 18$ dengan    $px+y\geq -6$, maka nilai maksimum  $f(x)=3x+4y$ adalah ...
   
   jawab:
   
   Bila garis k bergradien m dan garis l memiliki gradien n, maka kedua garis k dan garis l berpotongan tegak lurus bila $\displaystyle m=-\frac{1}{n}$. Karena garis  $x+2y=18$  memiliki gradien $\displaystyle m=-\frac{1}{2}$ maka p = 2.
   
   jadi himpunan persamaannya menjadi
   
      $x+2y\geq 8$
   
      $-2x+y\geq -6$
   
      $x+2y\leq 18$
   
      $x,y\geq 0$
   
   grafik berikut menunjukan daerah hasilnya
   
   
   
   
   
   titik potong garis $-2x + y =-6$ dan $x+2y =8$ terjadi di (4, 2)
   titik potong garis $-2x + y =-6$ dan $x+2y =18$ terjadi di (6, 6)
   
   titik kritis
   (4, 2)     $\rightarrow$  $f(x, y) = 3x+4y = 3 . 4 + 4.2 =20$
   (6, 6)     $\rightarrow$  $f(x, y) = 3x+4y = 3 . 6 + 4.6 =42$
   (8, 0)     $\rightarrow$  $f(x, y) = 3x+4y = 3 . 8 + 4.0 =24$
   (18, 0)   $\rightarrow$  $f(x, y) = 3x+4y = 3 . 18 + 4.0 =54$
   
   dengan demikian nilai maksimumn 3x+4y  = 54
   
   
   
6. Misalkan  $\begin {pmatrix} U_1 & U_2 \\ U_3 & U_4 \end {pmatrix}$ dengan $U_1, U_2, U_3, U_4$ membentuk suatu barisan aritmatika dengan suku kedua adalah 8 dan suku keempat adalah 14. Jika B adalah invers dari A, maka determinan dari B adalah ...
   
   jawab
   
   Karena $U_1, U_2, U_3, U_4$ membentuk barisan aritmatika maka berlaku
   
           $U_1 = a$ , $U_2 = a+b$, $U_3 = a+2b$ dan $U_4 = a+3b$
   
   Pada soal diketahu $U_2=8$ dan $U_4=14$, maka berlaku
   
                $U_2 = a+b$,                                  $8 = a+b$,  
                                              $\rightarrow$
                $U_4 = a+3b$                               $\underline {14 = a+3b}$ -
                                                                                  b = 3
                                                                                  a = 5
   
   Sehingga ketika nilai a = 5 dan b = 3 disubtitusikan kedalam persamaan anggota matriksnya, maka akan menghasilkan matrikas
   
   $\begin {pmatrix} 5 & 8 \\ 11 & 14 \end {pmatrix}$
    
   Sifat determinan matrix berlaku:  $\displaystyle Det(A^{-1})=\frac{1}{Det (A)}$ ; sehungga
   
               $\displaystyle Det(B)=\frac{1}{U_1 . U_4 - U_2 . U3}=\frac {1}{5\times 14=11\times 8}=-\frac{1}{18}$ 
   
   
   
7.  Jika $p, q,p+q$ adalah bilangan positif dan saling membentuk barisan geometri, maka nilai p dan rasionya adalah ...
   
   jawab
   karena $p, q,p+q$  membentuk barisan geometri, maka berlaku
   
             $\displaystyle  r=\frac{q}{p}=\frac{p+q}{q}=\frac {pq}{p+q}$  ........ persamaan 1
   
   dari persamaan di atas diperoleh
   
             $\displaystyle  r=\frac{q}{p}=\frac{p+q}{q}=\frac{p}{q}+1=\frac{1}{r}+1$
   
             $\displaystyle  r=\frac{1}{r}+1$    $\leftrightarrow$    $r^2-r-1=0$
   
   sehingga diperoleh kaidah mencari akar-akar persamaan kuadrat diperoleh
   
             $\displaystyle r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4.1.(-1)}}{2.1}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$
   
   Sekarang perhatikan kembali persamaan 1
   
            a. $\displaystyle r=\frac{p+q}{q}$  $\rightarrow$     $p+q = qr$
   
            b.$\displaystyle r =\frac {pq}{p+q}$ 
   
                $\rightarrow$  $\displaystyle r=\frac {pq}{qr}$
   
                $\rightarrow$  $\displaystyle r^2=p$
   
   
   Sehingga diperoleh  $\displaystyle p=\left(\frac{1\pm\sqrt 5}{2}\right)^2=3\pm \sqrt 5$ 
   
   
   
8. Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to0}\frac{sin 6x-cos 4x}{\sqrt{9-x}-3}=...$
   
   jawab
   
   Misalkan $f(x)=sin 6x - cos 4x$ dan $\displaystyle g(x)=\sqrt{9-x}-3$ 
   
   maka $f'{x}=6cos 6x+4sin 4x$ dan $\displaystyle g'(x)=-\frac{1}{2}(9-x)^{(-1/2)}$
   
   Perhatikan untuk x = 0 nilai $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}$. Dengan demikian kaidah D'Hospital bisa digunakan.
   
   $\displaystyle  \lim_{x \to0} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to0} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\displaystyle  \lim_{x \to0} \frac{6cos 6x+4sin 4x}{-\frac{1}{2}(9-x)^{(-1/2)}}=\lim_{x \to0} \frac{6cos 6.0+4sin 4.0}{-\frac{1}{2}(9-0)^{(-1/2)}}=\displaystyle  \lim_{x \to0} \frac{6+0}{-\frac{1}{2}.\frac{1}{3}}=-36$
   
   
   
9. Jika suatu fungsi $g(x)=a\sqrt{x^2-2x-3}$ adalah fungsi naik pada interval {x|$x\geq 3, x\epsilon \mathbb{R}$} dan turun pada interval  {x|$x\leq -1, x\epsilon \mathbb{R}$} maka himpunan a yang memenuhi adalah ....
   
   jawab
   
   misalkan $u = x^2-2x-3$   dan $\displaystyle v=a\sqrt u$ , maka
   
                  $\displaystyle u'=\frac{du}{dx}=2x-2$       dan   $v'\displaystyle =\frac{dv}{du}=a.\frac{1}{2}.u^{-1/2}=a\frac{a}{2}.(x^2-2x-3)^{-1/2}$
   
   dengan demikian $\displaystyle g'(x)=\frac{du}{dx}\times \frac{dv}{du}=(2x-2)(\frac{a}{2}.(x^2-2x-3)^{-1/2})=\frac{a(x-1)}{\sqrt{x^2-2x-3}}$
   
   Perhatikan beberapa hal berikut
   
   a/ Misalkan $y=\sqrt{x^2-2x-3}$
   Fungsi $y=\sqrt{x^2-2x-3}$   terdefinisi bila $x^2-2x-3 \geq 0$. Nilai x yang memenuhi adalah {x|$x\leq -1$ atau $x\geq 3,x\epsilon \mathbb{R}$}. Dengan demikian syarat yang didefinisikan pada soal sudah dipenuhi.
   
   b. Pada interval {x|$x\geq 3, x\epsilon \mathbb{R}$}, nilai dari $(x-1) >0$ dan  $y=\sqrt{x^2-2x-3}\geq0$ untuk setiap x pada interval tersebut. Pada interval ini, fungsi $g(x)$ adalah fungsi naik. Artinya nilai $\displaystyle g'(x)=\frac{a(x-1)}{\sqrt{x^2-2x-3}}>0$. Kondisi ini dipenuhi hanya apabila a > 0
   
   c.  Pada interval  {x|$x\leq -1, x\epsilon \mathbb{R}$}, nilai dari $(x-1) >0$ dan  $y=\sqrt{x^2-2x-3}\geq0$ untuk setiap x pada interval tersebut. Karena pada interval ini $g(x)$ didefinisikan sebagai fungsi turun, maka nilai $\displaystyle g'(x)=\frac{a(x-1)}{\sqrt{x^2-2x-3}}<0$. Kondisi ini hanya mungkin terpenuhi bila a > 0.
   
   jadi himpunan semua nilai a yang memenuhi adalah a > 0.
   
   

   

   gambar grafik $y=a\sqrt{x^2-2x-3}$ dengan a > 0

   
   
   

   

   
   gambar grafik $y=a\sqrt{x^2-2x-3}$ dengan a < 0

   
   
   
   
10.  Garis  m  dan n adalah garis singgung kurva $y=f(x)=3 sin x$ berturut-turut dititik $(\pi,0)$ dan (0, 0). Luas daerah yang dibatsi $y=f(x)=3sin x$ dengan garis m dan n adalah ...
    
    Jawab
    
    Misalkan t adalah gradien garis singgung kurva f(x)=3 sin x. Persamaan gradien garis singgung suatu kurva fI(x) adalah
    
                   $t=f'(x)=3 cos x$
    
    a.pada titik (0, 0)
    gradien garis singgung f(x) adalah  $t=3 cos$ 0 =3
    persamaan garis singgungnya adalah
                $y-y_1=t(x-x_1)$   
        $\rightarrow$    $y- 0 = 3 (x-0)$  
        $\rightarrow$  $y=3x$
    
    b. pada titik ($\pi$, 0)
    gradien garis singgung f(x) adalah  $t=3 cos \pi = - 3$
    persamaan garis singgungnya adalah
                $y-y_1=t(x-x_1)$   
        $\rightarrow$    $y- 0 = -3 (x- \pi)$ 
        $\rightarrow$  $y=-3x + 3\pi$
    
    titik potong garis m dan n yaitu
    $y_m=y_n$    $\rightarrow$   $3x=-3x+3\pi$     $\rightarrow$    $\displaystyle x= \frac{\pi}{2}$.
    
    subtitusikan nilai  $\displaystyle x= \frac{\pi}{2}$. ke persamaan $y=3x$, menghasilkan $\displaystyle y=\frac {3\pi}{2}$  dengan demikian titik potongnya terletak di ($\displaystyle \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})$
    
    
    
    
    
    dengan demikian luas daerah yang dibatasi kurva $y=3 sin x$ ., garis m dan garis n adalah
    
    Luas = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3x dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\\pi}(-3x+3\pi) dx-\int_{0}^{\pi}3sin x dx$
    
    
               $=\displaystyle \left [\frac{3}{2}x^2]  \right ]_0^{\pi/2}+ \left [\frac{3}{2}x^2+3\pi.x]  \right ]_{\pi/2}^{\pi}-\left [ -3cos x \right ]_{0}^{\pi}$
    
               $=\displaystyle \left [  \frac{3}{2}.((\frac{\pi}{2})^2- 0^2)\right ]+\left [ - \frac{3}{2}(\pi^2-( \frac{\pi}{2})^2)+3\pi(\pi-\frac{\pi}{2}) \right ]-\left [ -3(cos \pi-cos 0) \right ]$
    
               $=\displaystyle \frac{3\pi^2}{8}+\frac{3\pi^2}{8}-6$
    
               $=\displaystyle \frac{3\pi^2}{4}-6$
    
    
    
11. Nilai x yang memenuhi $sin 2x \geq sin x$ pada interval $-\pi\leq x \leq \pi$ adalah ...
    
    jawab
    
                                   $sin 2x \geq sin x$ 
    $\rightarrow$                $2.sin x . cos x \geq sin x$ 
    $\rightarrow$   $2.sin x . cos x -sin x\geq 0 $ 
    $\rightarrow$        $(2.cos x-1) sin x\geq 0 $ 
    
    Dari persamaan terakhir, ada 2 kemungkinan yang bisa terjadi:
    
    a. $(2.cos x-1)\geq 0 $       dan      $sin x\geq 0 $   sehingga $(2.cos x-1) sin x\geq 0 $ 
        Bila ini tejadi maka
    
               a.1   $(2.cos x-1)\geq 0 $ 
                       $\displaystyle cos x\geq \frac{1}{2} $
    
                       $\displaystyle -\frac{\pi}{3}\leq x \leq \frac{\pi}{3}$    ......... (i)
    
                a.2   $sin x\geq 0 $ 
                       $\displaystyle 0 \leq x \leq \pi$      ------(ii)
    
        $\leftrightarrow$   dari pernyataan (i) dan (ii) maka nilai x yang memenuhi    $(2.cos x-1)\geq 0 $       dan      $sin x\geq 0 $   
               sehingga $(2.cos x-1) sin x\geq 0 $ adalah  {x | $\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}, x\epsilon \mathbb{R}$}
    
    
    
    
    b,$(2.cos x-1) \leq 0 $       dan      $sin x\leq 0 $     sehingga $(2.cos x-1) sin x\geq 0 $ 
    
        Bila ini tejadi maka
    
               a.1   $(2.cos x-1)\leq 0 $ 
                       $\displaystyle cos x\leq \frac{1}{2} $
    
                       $\displaystyle -\pi\leq x \leq -\frac{\pi}{3} $  atau  $\displaystyle \frac{\pi}{3} \leq x \leq pi$    ......... (iii)
    
                a.2   $sin x\leq 0 $ 
                       $\displaystyle -\pi \leq x \leq 0$      ------(iv)
    
        $\leftrightarrow$   dari pernyataan (iii) dan (iv) maka nilai x yang memenuhi    $(2.cos x-1) \leq 0 $    dan      $sin x\leq 0 $      
               sehingga $(2.cos x-1) sin x\geq 0 $ adalah  {x | $\displaystyle -\pi \leq x \leq -\frac{\pi}{3}, x\epsilon \mathbb{R}$}
    
    
    
    
    
    
    Dengan demikian nilai x yang memenuhi $sin 2x \geq sin x$  adalah { x |  $\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$ atau $\displaystyle -\pi \leq x \leq -\frac{\pi}{3}, x\epsilon \mathbb{R}$   }
    
    
    
    
12. Sebuah kunus ABCD>EFGH memiliki panjang rusuk 8 cm. T adalah titik tengah FG dan U adalah titik tengah EH.  Cosinus sudut antara  bidang ABGH dengan bidang ABTU adalah
    
    jawab
    
    
    
    
    BG = $\sqrt {BC^2+BF^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt 2$
    
    TB = $\sqrt {BF^2+FT^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt 5$
    
    
    Nilai cosinus ABTU dengan ABGH adalah
    
    $GT^2=BG^2+TB^2-2.BG.TB cos \alpha$
    
     $4^2=8(\sqrt2)^2+(4 \sqrt 5)^2-2.8\sqrt 2.4 \sqrt 5 cos \alpha$
    
     $16=8128+80-64 \sqrt {10} cos \alpha$
    
    $\displaystyle coa \alpha = \frac{192}{64\sqrt {10}}=\frac{3}{10}\sqrt{10}$
    
    
    
    
13. Suatu vektor $\vec{v}=\binom{v_1}{v_2}$ dicerminkan terhadap sumbu y = x kemudian hasilnya diputar mengelilingi pusat koordinat sejauh $270^o$ berlawanan arah dengan jarum jam. Hasilnya ditransformasikan menjadi suatu matriks T sehingga bayangannya menjadi suatu vektor  vektor $\vec {w}=\binom{v_2}{v_1}$ . Matriks transformasi T adalah ...
    
    Jawab
    
    Matriks rotasi berlawanan arah jarum jam : 
    
    $\displaystyle \begin {pmatrix}
    cos \alpha & -sin\alpha \\
    sin \alpha & cos \alpha
    \end {pmatrix}$
    
    Matriks pencerminan terhadap garis y = x :
    
    $\displaystyle \begin {pmatrix}
    0 & 1 \\
    1 & 0
    \end {pmatrix}$
    
    Dengan demikian diperoleh
    
    $\displaystyle \vec{w}=\binom {v_2}{v_1} = T \begin{pmatrix} cos {270^o} & -sin{270^o}\\sin{270^o} & cos{270^o}\end {pmatrix} . \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} \binom{v_1}{v_2}$
    
       $\displaystyle = T \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end {pmatrix} . \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} \binom{v_1}{v_2}$
    
       $\displaystyle = T \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end {pmatrix} .  \binom{v_2}{v_1}$
    
       $\displaystyle = T \binom{-v_1}{v_2}$
    
    maka matriks T adalah $\begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end {pmatrix}$
    
    
    
    
14. Tentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan 
    
              cos 2x + 7 cos x - 3 = 0
    
    Jawab
    
    Misalkan m = cos x, karena   cos 2x = $2cos^2 x -1$ , maka   
    
            $ cos 2x + 7 cos x - 3 = 0$. Dengan demikian
    
    $\rightarrow$     $2cos^2 x -1+7 cos x -3 = 0$
    
    $\rightarrow$     $2m^2 -1+7 m -4 = 0$
    
    $\rightarrow$     $(2m-1)(m+4)$
    
    $\rightarrow$     $\displaystyle m=\frac {1}{2}$   atau    $m=-4$
    
    karena $-1\leq cosx \leq 1$  maka m = 4 tidak dipilih, sehingga nilai x memenuhi persamaan cos x = m  = $\displaystyle \frac{1}{2}$ bila  untuk setiap $k\epsilon \mathbb{N}$   x =  60 + k . $360^o$ atau    x = -60 + k . $360^o$.
    
    Misal  pada interval $-2\pi \leq x \leq 2\pi$
    
     a. x = 60 + k . $360^o$
    
         k = -1    $\leftrightarrow$   x = 60 + -1 . $360^o$ = -300$^o$   {memenuhi syarat $-2\pi \leq x \leq 2 \pi$}
         k = 0    $\leftrightarrow$   x = 60 + 0 . $360^o$ = 60$^o$         {memenuhi syarat $-2\pi \leq x \leq 2 \pi$}
         k = 1    $\leftrightarrow$   x = 60 + 1 . $360^o$ = 420$^o$       {tidak memenuhi syarat $-2\pi \leq x \leq 2 \pi$}
    
    
    b. x = -60 + k . $360^o$
    
         k = -1    $\leftrightarrow$   x = -60 + -1 . $360^o$ = -420$^o$   {tidak memenuhi syarat $-2\pi \leq x \leq 2 \pi$}
         k = 0    $\leftrightarrow$   x = -60 + 0 . $360^o$ = -60$^o$         {memenuhi syarat $-2\pi \leq x \leq 2 \pi$}
         k = 1    $\leftrightarrow$   x = -60 + 1 . $360^o$ = 300$^o$       {memenuhi syarat $-2\pi \leq x \leq 2 \pi$}
         k = 2    $\leftrightarrow$   x = -60 + 2 . $360^o$ = -660$^o$         {tidak memenuhi syarat $-2\pi \leq x \leq 2 \pi$}
    
    sehingga himpunan x yang memenuhi persamaan    cos 2x + 7 cos x - 3 = 0 dalam interval   interval $-2\pi \leq x \leq 2\pi$ adalah {-300$^o$ , -60$^o$, 60$^o$, 300$^o$,}
    
    
    
15. Sebuah toko mainan membuat kupon undian terdiri dari  4 angka berbeda dari 6 angka yang tersedia yaitu 1,2, 3, 4, 5, dan 6 Peluang kupon undian yang nilainya lebih dari 3500 adalah ..
    
    
    Jawab 
    
        a.  jumlah kupon yang angkanya > 4000                   = 3 . 5 . 4 . 3 = 180 kupon
        b. 3500  < Jumlah kupon yang angkanya  <  4000    = 1 . 2 . 4 . 3 =   24 kupon +
            Jumlah kupon yang angkanya  > 3500                                        = 204 kupon
    
    Banyaknya semua  nomor kupon yang tersedia adalah 6! = 6 . 5. 4. 3.  = 360 cara
    Maka peluang kupon yang nilainya > 3500 adalah  $\displaystyle \frac{204}{360}=\frac {17}{24}$