Latihan Soal SIMAK 2020

1. Diketahui persamaan  berikut ini
   $\sqrt {x^2+2y^2+4}+\sqrt{x^3+x^2-y+5}=\sqrt {x^2+2y^2+4+2x+2y-4}+\sqrt{x^3+x^2-y+5+x+y-2}$
   
   maka nilai dari x + y adalah ...
   
   jawab:
   Misalkan $a=x^2+2y^2+4$    ,    $b= x^3+x^2-y+5 $ dan $c=x+y-2$
   maka diperoleh
   
   $\sqrt {x^2+2y^2+4}+\sqrt{x^3+x^2-y+5}=\sqrt {x^2+2y^2+4+2x+2y-4}+\sqrt{x^3+x^2-y+5+x+y-2}$
   
               $\sqrt {a}$          +              $\sqrt{b}$                =                   $\sqrt {a+2c}$                      +               $\sqrt{b+c}$
   
   Perhatikan, persamaan terakhir dapat dipenuhi bila c = 0. dengan demikian
   
              $c = x + y - 2 = 0$     $\rightarrow$      $x+y=2$
   
   
   
2.  Misalkan $P= \begin{pmatrix}1   &  2\\ -1 & 1 \end{pmatrix} $. Jika |P| menyatakan determinan matiks P , Tentukan nilai dari
   
                                  |$P^{-1}$| + |$P^{-1}$|$^2$ + |$P^{-1}$|$^3$ + ...
   
   jawab:
    
   $det(P) = p_{11}\times p_{22}-p_{12}\times p_{21} =(1 \times 1)-(2\times(-1))=1+2=3$
   
   dengan demikian   |$P^{-1}$| =$\frac{1}{3}$ sehingga  |$P^{-1}$|  |$P^{-1}$|$^2$ + |$P^{-1}$|$^3$ + ...   membentuk barisan turun.
   
   dengan menggunakan deret geometri didapat $u_1 =\frac{1}{3}$ dan $r=\frac{1}{3}$, maka jumlah suku barisan tak berhingga adalah
   
                  $\displaystyle S_{\infty}=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$
   
   
   
3. diketahui dua buah garis p dan q sejajar. Gais p melewati titik (-1, 1) dan garis q meleati titik (3, -3) dan titik (-1, 5). Jika garis p dan q memotong sumbu X di A dan B, serta memotong sumbu Y di C dan D berturut-turut, maka luas bangun ABCD adalah ...
   
   jawab:
   Misalkan garis p memiliki persamaan p (x) = $m_px+a$ dan garis q memiliki persamaan $g(x)=m_gx+b$. Karena garis p dan q sejajar maka gradien kedua garis tersebut sama. Dengan demikian $m_p = m_q = m$.  Dengan demikian persamaannya menjadi
   
                               p (x) = $mx+a$
                               q(x)  = $mx+b$
   
   Pada titik (-1,1)         p (-1) = $m(-1) +a$       $\rightarrow $          1 = $-m + a$    .... persamaan 1
   Pada titik (-1,5)         q (-1) = $m(-1) +a$       $\rightarrow $          5 = $-m + b$    .... persamaan 2
   Pada titik (3,-3)         q (-1) = $m(-1) +a$       $\rightarrow $         -3 = $3m + b$     .... persamaan 3
   
   dari persamaan 2 dan 3 diperolah
   
                    $5 = -m  + b$     .
                 $\underline{-3 = 3m + b}$   -               
                    8  = -4 m                     $\rightarrow$      m = -2  dan b = 3    ..... persamaan 4
   
   dengan mensubtitusikan persamaan 4 ke persamaan 2 diperoleh a = -1, dengan demikian persamaan garisnya menjadi 
   
                             p (x) = $-2x-1$
                             q(x)  = $-2x+3$
   
   titik potong kedua garis dengan sumbu X terjadi bila nilai y = 0. dengan demikian untuk y = 0      
   $\rightarrow$   p (x) = $-2x-1$   $\rightarrow $    0    = $-2x-1$  $\rightarrow $   x = $-\frac{1}{2}$  $\rightarrow $  titik potongnya (-$\frac{1}{2}$,0)
   $\rightarrow $   q (x) = $-2x+3$   $\rightarrow $    0    = $-2x+3$   $\rightarrow $   x = $\frac{3}{2}$    $\rightarrow $   titik potongnya ($\frac{3}{2}$,0)                   
   
   
   titik potong kedua garis dengan sumbu Y terjadi bila nilai x = 0. dengan demikian untuk x = 0      
   $\rightarrow$   p (x) = $-2x-1$   $\rightarrow $    y = $-2.0-1$  $\rightarrow $   y =-1  $\rightarrow $  titik potongnya (0, -1)
   $\rightarrow $   q (x) = $-2x+3$   $\rightarrow $    y = $-2.0+3$   $\rightarrow $  y = 3  $\rightarrow $   titik potongnya (0, 3)                   
   
   Grafik berikut menunjukan garis p dan garis q beserta titik potong ABCD
   
   
   

   

   gambar garis p dan garis q

   
   
   
   Jarak A ke titik C = |$x_A-x_C$| = |$-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}$|= 2
   Jarak B ke titik D = |$x_B-x_D$| = |$-1-3$|= 4
   
   Dengan demikian Luas ABCD = Luas $\triangle ABC$ + Luas $\triangle ACD $
   
                                                     = $\frac{1}{2}.AC.BO$ + $\frac{1}{2}.AC.OD$
   
                                                     = $\frac{1}{2}.2.1$ + $\frac{1}{2}.2.3= 4$ satuan luas
    
   
   
4. Diketahui persamaan kuadrat $x^2-x+1=0 memiliki akar-akar m dan n. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah $m^2+m-2$ dan $2n-3$ adalah ...
   
   jawab:
   akar-akar persamaan kuadrat dari $x^2-x+1=0$ adalah
   
   $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-41.1}}{2.1}=\frac{1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$
   
   jadi akar-akarnya adalah 
   
                   $m=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$  dan $n=\frac{1-\sqrt{-3}}{2}$
   
                                                  atau
   
                   $m=\frac{1-\sqrt{-3}}{2}$  dan $n=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$
   
   
   Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $x_1=m^2+m-2$  dan  $3n-3$
   
   Maka  $x_1=m^2+m-2=(\frac{1+\sqrt{-3}}{2})^2+(\frac{1+\sqrt{-3}}{2})-2$
   
              $\rightarrow$     $=(\frac{1+2\sqrt{-3}+(-3)}{4})+(\frac{2+2\sqrt{-3}}{4})-\frac{8}{4}$
   
              $\rightarrow$     $=-2+\sqrt{-3}$
   
   
              $x_2=2n-3=2(\frac{1-\sqrt{-3}}{2})-3$
   
              $\rightarrow$     $=\frac{2-2\sqrt{-3}}{2}-3$
   
              $\rightarrow$     $=-2-\sqrt{-3}$
   
   
   jadi persamaan kuadrat barunya adalah 
   
               $y=x^2-(x_1+x_2)x+(x_1\times x_2)$
   
   $\rightarrow$        $y=x^2-((-2+\sqrt{-3})+(-2-\sqrt{-3}))x+(-2+\sqrt{-3})\times (-2-\sqrt{-3})$
   
   $\rightarrow$        $y=x^2+4x+7$
   
   
   Untuk   $m=\frac{1-\sqrt{-3}}{2}$  dan $n=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ , bisa dijadikan sarana latihan di rumah ya...
   
   
   
5. Diketahui X adalah suatu variabel acak dengan tabel distribusi probabilitas sebagai berikut:
   
   
   
   Variansi dari X adalah ...
   
   jawab
   $\displaystyle \sum_{i=1}^{5} =(t-t^2)+(t-0,1)+(0,5-t)+(2t-t^2)+(2t^2)$
   
   $\rightarrow$   1  $=3t+0,4$
   $\rightarrow$   $t=0,2$
   
   Maka tabel distribusi probabilitasnya adalah 
   
   
   
   
   
   $Variansi = E(x^2)-E(x)*2=145,5-10,5^2=32,25$
   
   
   
   
6. diketahui $f(x)=f(-x)$. Jika $\int_{-4}^{4}f(x)dx=10$ dan $\int_{1}^{4} f(x)dx = 2$ maka $\int_{0}^{1}3f(x)-2 dx$ adalah ....
   
   Jawab
   
    $f(x)=f(-x)$   $\rightarrow$      $\int f(x)dx=\int f(-x)dx$     $\rightarrow$      $\int_{0}^{4}f(x)dx= \int_{-4}^{0}f(x)dx$
   
   $\int_{-4}^{4}f(x)dx=\int_{-4}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{4}f(x)dx$
   
       $\rightarrow$    10  $=2  \int_{0}^{4}f(x)dx$
   
       $\rightarrow$     $\int_{0}^{4}f(x)dx=5$
   
   
   Dengan demikian  $\int_{0}^{4}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{1}^{4}f(x)dx$
   
                                             5      = $ \int_{0}^{1}f(x)dx$  +       2
   
   
                                            $\rightarrow$       $ \int_{0}^{1}f(x)dx = 3$
   
   
   Sehingga diperoleh $\int_{0}^{1}3f(x)-2 dx=2\int_{0}^{1}f(x)-\int_{0}^{1}2 dx$
   
                                              $\rightarrow$             $= 3\times  3 - 2x]_0^1=9-2=7$