Latihan Soal Matematika SMA
Persiapan menghadapi UN dan SBMPTN
================================================================
Persiapan menghadapi UN dan SBMPTN
================================================================
- Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm, titik P berada pada pertengahan AB dan titik sudut Q berada pada pertengahan HD. Tangen sudut antara PQ dan BDHF adalah ...jawab
$PR=\sqrt{PB^2+BR^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
$PT=\displaystyle \frac{1}{2}PR=\sqrt2$
$DB=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
$DT=\displaystyle \frac{3}{4}DB=3\sqrt2$
$QT=\sqrt{QD^2+DT^2}=\sqrt{2^2+(3\sqrt2)^2}=\sqrt{4+18}=\sqrt{22}$
tan $\alpha=\displaystyle \frac{PT}{QT}=\frac{\sqrt 2}{\sqrt22}=\frac{\sqrt 11}{11}$ - Banyaknya bilangan bulat yang memenuhi persamaan $(2x-5)^{x^2-4x+1}=(x-4)^{x^2-4x+1}$ adalah ...Jawabuntuk $a^p=1 \Leftrightarrow p=0$maka $x^2-4x+1=0 \Leftrightarrow \displaystyle x_{1,2}=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4.1.(-1)}}{2.1}=\frac{16\pm\sqrt20}{2}$$ \Leftrightarrow x_{1,2}$ bukan bilangan bulatUntuk $a^p=b^q \Leftrightarrow a=b$maka $2x-5=x-4 \Leftrightarrow x=1$ $ \Leftrightarrow x$ bilangan bulatJadi solusi banyaknya bilangan bulat yang memenuhi persamaan tersebut adalah 1 bilangan yakni $x-1$
- Turunan pertama dari $y=\sqrt{(1-sin x+sin^2x-sin^3 x+sin^4x+....)^3}$ adalah ....jawab$S=1-sin x+sin^2x-sin^3 x+sin^4x+....$$=(1+sin^2x+sin^4x+....)-(sin x+sin^3x+sin^5 +....)$Misalkan $ r=sin^2x $ untuk $ -1\leq sin x\leq 1$$S_{\infty}=a+ar+ar^2+ar^3+...=\displaystyle \frac{a}{1-r}$$S_{\infty} \left\{\begin{matrix} \displaystyle = (1+sin^2x+sin^4x+....)=\frac{1}{1-sin^2x}\\ \\ = \displaystyle (sin^x+sin^3x+sin+....)=\frac{sin x}{1-sin^2x}\end{matrix}\right.$$S=(1+sin^2x+sin^4x+....)-(sin x+sin^3x+sin^5 +....)$= $\displaystyle \frac{1}{1-sin^2x}$ $- $ $\displaystyle \frac{sin x}{1-sin^2x}$= $\displaystyle \frac{1 - sin x}{(1-sinx)(1+sinx)}$= $\displaystyle \frac{1}{1+sinx}$Maka $\displaystyle y=\sqrt{\left ( \frac{1}{1+sinx} \right )^3}$misalkan $\displaystyle u=\frac{1}{1+sin x}$ dan $\displaystyle y=\sqrt {u^3}= (u)^{\frac{3}{2}} $$\displaystyle u'=\frac{du}{dx}=\frac{0-cos x .1}{(1+sin x)^2}=-\frac{cos x}{(1+sin x)^2}$ dan $\displaystyle y'=\frac{dy}{du}=\frac{3}{2} (u)^{\frac{1}{2}} =\frac{3}{2} \left (\frac{1}{1+sin x}\right)^{\frac{1}{2}}$dengan demikian$\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\times \frac{dy}{dx}=\left (-\frac{cos x}{(1+sin x)^2}\right) . \left (\frac{3}{2} \left (\frac{1}{1+sin x}\right )^{\frac{1}{2}} \right)=-\frac{3}{2}. \frac{cos x}{\left ( 1+sin x\right )^{\frac{5}{2}}} $
- 3 log x = 3 + log y dan $^2$log xy $=^2$log $\displaystyle \left (\frac {x}{y}\right) +3$, maka $x+y = ...$jawab$^2$log xy $=$ $^2$log $\displaystyle \left (\frac {x}{y}\right) +3$$\Leftrightarrow$ $^2$log x + $^2$log y $=$ $^2$log x $-^2$log y + 3$\Leftrightarrow$ 2 . $^2$log y $=$ 3$\Leftrightarrow$ . $^2$log y $=$ $\displaystyle \frac{3}{2}$$\Leftrightarrow$ . y $=$ $\displaystyle 2^{\frac{3}{2}}$3 log x = 3 + log y$\Leftrightarrow$ log $x^3 - $ log $y =3$$\Leftrightarrow$ log $\displaystyle \frac{x^3}{y}$ $=$ log $10^3$$\Leftrightarrow$ $x^3$ $=$ $10^3y$$\Leftrightarrow$ $x$ $=$ $(10^3y)^{\frac{1}{3}}$$\Leftrightarrow$ $x$ $=$ $\displaystyle (10. 2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}$$\Leftrightarrow$ $x$ $=$ $\displaystyle 10. 2^{\frac{1}{2}}$Dengan demikian $\displaystyle x+y= 10 . 2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{3}{2}} $
- Pada tahun 2019 Andi membe;i sebuah kipas angin dan 2 buah TV dengan total harga Rp. 6.000.000,- Sementara Cika membeli 2 buah kipas angin dan 1 buah TV dengan total harga Rp. 4.500.000,- Nina membeli 1 buah kipas angin dan 1 buah TV dan mejualnya pada tahun 2020. Jika harga kipas angin dan TV berturut-turut turun secara eksponensial pertahun sebesar 20% dan 10%, maka uang yang akan diterima Nina dan hasil penjualan barangnya adalah ...
jawab
Misalkan x adalah jumlah kipas dan y adalah jumlah TV.
$x + 2y = 6.000.000$ kalikan 1 $x + 2y = 6.000.000$
$2x + y = 4.500.000$ kalikan 2 $\underline {4x + 2y =9.000.000-}$
$\Leftrightarrow$ $3x=3.000.000$
$\Leftrightarrow$ $x=1.000.000$
Subtitusi nilai x ke salah satu persamaan maka akan menghasilkan y = 2.500.000
Maka uang yang diterima Nina setelah penyusutan adalah
(1-20% ) x + (1-10%) y $\displaystyle = \frac{80}{100}.1.000.000 + \frac{90}{100}. 2.500.000=800.000+2.250.000= Rp. 3.050.000$ - Diketahui A $=\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end {pmatrix}$ dengan $|a|\neq|b|$ dan B $=\displaystyle \begin{pmatrix} y & y+6 \\ y-1 & 2y \end {pmatrix}$. dengan y adalah suatu bilangan bulat genap. Jika AB adalah matriks singular, maka nilai y adalah ....
jawab:
Matriks singular adalah matriks yang tidak memiliki invers. Jika X adalah matriks yang tidak memiliki invers, maka Det(X) = 0.
AB $=\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end {pmatrix}$ $ \begin{pmatrix} y & y+6 \\ y-1 & 2y \end {pmatrix}$
$\Leftrightarrow$ $=\displaystyle \begin{pmatrix} ay + b(y-1) & a(y+6)+2by \\by+a(y-1) & b(y+6)+2ay \end {pmatrix}$
Det(AB) = $(ay+b(y-1))(b(y+6)+2ay)-(by+a(y-1))(a(y+6)+2by)=0$
perhatikan proses perhitungannya seperti dicatat dibawah ini
$\Leftrightarrow$ $(ay+b(y-1))(b(y+6)+2ay)$ $\Leftrightarrow$ $ay(b(y+6)+2ay)+b(y-1)(b(y+6)+2ay)$
$\Leftrightarrow$ $(by+a(y-1))(a(y+6)+2by)$ $\Leftrightarrow$ $by(a(y+6)+2by)+a(y-1)(a(y+6)+2by)$
$\Leftrightarrow$ $aby(y+6) +2a^2y^2+b^2(y^2+5y-6)+2aby(y-1)$
$\Leftrightarrow$ $\underline {aby(y+6)+2b^2y^2+a^2(y^2+5y-6)+2aby(y-1)}-$
0 + $(a^2-b^2)y^2-5(a^2-b^2)y-6(a^2-b^2)$ + 0 = 0
Dengan demikian Det (AB) = 0 $\Leftrightarrow$ $(a^2-b^2)y^2-5(a^2-b^2)y-6(a^2-b^2) =0$
$\Leftrightarrow$ $(a^2-b^2)(y^2-5y-6)=0$
$\Leftrightarrow$ $(a^2-b^2)(y-6)(y+1)=0$
$\Leftrightarrow$ $(y=6)$ atau $(y=-1)$
karena pada soal y adalah bilangan bulat genap, maka y = 6 - Diketahui matriks A= $\begin {pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end {pmatrix}$. Tentukan $A^2(A^5-1)$
jawab:
$A^2=$ $\begin {pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end {pmatrix}$ $\times$ $\begin {pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end {pmatrix}$ $=\begin {pmatrix} 0.0+-2-2 & -2.0+0.-2 \\ 0.-2+-2.0 & -2.-2+0.0 \end {pmatrix}$. $=\begin {pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end {pmatrix}$.
$A^4=(A^2)^2$ $=\begin {pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end {pmatrix}\times $ $\begin {pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end {pmatrix}$. $=\begin {pmatrix} 4/4+0.0 & 4.0+0.4 \\ 0.4+4.0 & 0.0+4.4 \end {pmatrix}$. $=\begin {pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end {pmatrix}$.
$A^5=A^4\times A $ $=\begin {pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end {pmatrix}\times$ $\begin {pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end {pmatrix}$ $=\begin {pmatrix} 16/0+0.-2 & 16.-2+0.0 \\ 0.0+16.-2 & 16.-2+0.0 \end {pmatrix}$. $=\begin {pmatrix} 0 & -32 \\ -32 & 0 \end {pmatrix}$.$A^2(A^5-1)=$ $\begin {pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end {pmatrix} \left ( \begin {pmatrix} 0 & -32 \\ -32 & 0 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} \right )$ $=\begin {pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end {pmatrix}\times$ $\begin {pmatrix} -1 & -32 \\ -32 & -1 \end {pmatrix}$
$=\begin {pmatrix} 4.-1+0.-32 & 4.-32+0.-1 \\ 0.-1+4.-32 & 0.-32+4.-1 \end {pmatrix}$. $=\begin {pmatrix} -4 & -128 \\ -128 & -4 \end {pmatrix}$. - Diketahui segitiga ABC sama sisi dengan panjang sisi 10 cm. Titik D berada pada garis AB sedemikian sehingga AD:DB = 2:3. Titik F berada pada garis AC sehingga AF = FC. Apabila E berada pada garis BC sedemikian sehingga AE melalui titik potong garis CD dan BF tentukan panjang garis AE!
JawabBerdasarkan teorema Steward:
$AE^2.BC=CE.AB^2+BE.AC^2-CE,BE,BC$
$\Rightarrow$ $AE^2.10=4.10^2+6.10^2-4.6.10$
$\Rightarrow$ $AE^2.10=760$
$\Rightarrow$ $AE.10=\sqrt 76=2\sqrt 19$ - Diketahui suatu titik $P(x_p,y_p)$ adalah titik puncak parabola $\displaystyle y=\frac {1}{2}x^2+x+c$. Diketahui garis $y=x+6$ memotong grafik fungsi kuadrat salah satunya pada absis $x=-4$. Luas daerah yang dibentuk oleh parabola dan garis tersebut yang dibatasi oleh garis $x=x_p$ dan sumbu Y adalah ...
jawab
Karena titik potong garis $y=x+6$ dan kurva $\displaystyle y=\frac {1}{2}x^2+x+c$ adalah titik yang berabsis x= -4, maka
$\displaystyle \frac {1}{2}x^2+x+c = x+6$.
$\Leftrightarrow$ $\displaystyle c = 6-\frac{1}{2}x^2$
$\Leftrightarrow$ $\displaystyle c = 6-\frac{1}{2}(-4)^2=-2$
Maka persamaan grafiknya menjadi $y=\displaystyle \frac {1}{2}x^2+x-2$ .
titik puncak $y=\displaystyle \frac {1}{2}x^2+x-2$ adalah
$\displaystyle x_p=-\frac {b}{2a}=-\frac{1}{2.\frac{1}{2.}}=-1$
$y_p=\displaystyle \frac {1}{2}(-1)^2+(-1)-2=-\frac{5}{2}$ .
Luas daerah parabole yang dibatasi oleh sumbu y dan garis $y=x+6$ yang dibatasi $x_p=-1$ adalah
$\displaystyle \int_{-1}^{0}(x+6)- \left ( \frac{1}{2}x^2+x-2 \right ) dx=\int_{-1}^{0}- \frac{1}{2}+8 dx= \left ( -\frac{1}{2}.\frac{1}{3}x^3+8x \right )_{-1}^{0} =-\frac{1}{6}(-1)^3+8.(-1)=-7\frac {5}{6}$
dengan demikian luas daerahnya adalah $\displaystyle 7\frac{5}{6}$
No comments:
Post a Comment