Latihan Soal OSN tingkat SMP 2019
================================================
================================================
- Bentuk sederhana dari $\displaystyle \frac{x^2-x-20}{x^2-25}\times \frac{x^2-x-2}{x^2+2x-8}:\frac{x+1}{x^2+5x}$ adalah ...
Jawab
$\displaystyle \frac{x^2-x-20}{x^2-25}\times \frac{x^2-x-2}{x^2+2x-8}:\frac{x+1}{x^2+5x}=\frac{(x-5)(x+4)}{(x-5)(x+5)}\times \frac{(x-2)(x+1)}{(x+4)(x-2)}\times\frac{x(x+5)}{x+1}= x$ - Simbol $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = k$ berarti ad - bc = k. Jumlah semua nilai yang memenuhi $\begin{vmatrix} x-2 & -2 \\ -x & x+4 \end{vmatrix} = 2x$ adalah ...
Jawab
dari soal diketahu $a = x-2$, $ b= -2, c = -x, d =x+4$ dan $k=2x$, maka
$ad-bc=k$ $ \Leftrightarrow$ (x-2) (x+4) - (-x) (-2) = 2x
$\Leftrightarrow$ $(x-2)(x+4)+2x=2x $
$\Leftrightarrow$ $x_1=2$ atau $x_2=-4$
Maka $x_1+x_2=2$ - Diketahui A dan B bilangan dua digit, C bilangan tiga digit dan A + B = C. Tujuh digit pembentuk bilangan itu yaitu 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 masing-masing digunakan tepat satu kkali. Digit satuan dari C adalah 6. Bilangan C yang dimaksud adalah ...
Jawab
Misalkan $A=10a+b$, $B=10c+d$ sehingga $A+B = 10 (a+b)+(c+d)$
$C=100x +10y+6$
Perhatikan beberapa hal berikut
a. pilihan angka untuk c dan d adalah 2 dan 4
dari pilihan angka yang ada, hanya 2 dan 4 yang jika dijumlahkan hasilnya 6, Dengan demikian angka yang dipilih untuk c dan d adalah 2 dan 4.
b. $10 \leq a+b \leq 15 $
Karena dipasangkan tepat 1 angka, maka untuk angka puluhan pada A dan B (yaitu a dan b) adalah 1, ,5, 6, 7, 8. Jika a dan b diambil dari angka yang tersisa, maka nilai maximum $a+b$ adalah 15. Tetapi A dan B adalah bilangan 2 digit dan C adalah bilangan tiga digit. Artinya $10 \leq a+b \leq 16$ dan $x = 1$.
c. C=156 dan himpunan pilihan angka (A,B) ={(72,84) , (74, 82), (84, 72) atau (82, 74)}
Jika melihat pilihan angka terakhir, yaitu 5, 6, 7, 8, maka pilihan untuk a dan b adalah 7 dan 8. Sebab bila kedua angka itu dijumlahkan hasilnya 15. Angka 1 pada 15 akan digunakan untuk x . Sebaliknya, bila a dan b bukan angka 7 dan 8 (atau hanya mengambil salah satunya saja), maka akan menghasilkan nilai puluhan pada digit C yang sama dengan digit lainnya dari angka yang sudah dipilih atau menghasilkan angka yang tidak ada dalam pilihan. Misalnya
*) 5 + 7 =12
hasil penjumlahannya menunjukan angka 2. Padahal angka ini sudah dipakai untuk c atau d
*) 5 + 8 =13
hasil penjumlahannya menunjukan angka 3 yang mana bukan angka yang disediakan
*) 5 + 6 =11
hasil penjumlahannya menunjukan ada dua angka 1. Padahal setiap angka hanya digunakan 1 kali
jadi C = 156
- Sebuah balok memiliki panjang a cm, lebar b cm dan tinggi c cm dimana a, b, c adalah bilangan asli. Diketahui volume balok adalah 240 cm$^2$ dan $a+b+c = 19$ serta $a>b>c>3$. Luas semua sisi balok yang memiliki ukuran b dan c adalah ...
jawab
Perhatikan beberapa hal berikut:
a. Karena $a+b+c =19$ maka $a,b,c<19$ sehingga $3<c<b<a<19$
b. Faktor persekutuan dari 240 yang memenuhi kondisi $3<c<b<a<19$ adalah {4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16}c. Himpunan pasangan terurut (a,b,c) yang membentuk faktor persekutuan 240 berdasarkan pada pernyataan b adalah {(4,5,12), (5,6,8), (4,6,10)}
maka pilihan yang tepat untuk $a,b, c$ adalah a = 12, b =5 dan c = 4, sehingga luas permukaan balok yang memiliki ukuran b dan c adalah $2\times 4\times 5=40 $ cm$^2$
- Vincent mempunyai sekotak permen. Ia membagikan sepertiganya kepada Theo dan kemudian seperempat dari sisanya kepada Thobi. Permen yang tersisa pada kotak sebanyak 24 permen. Banyaknya permen dalam kotak mula-mula adalah ....
Jawab
Misalkan p adalah jumlah permen yang terdapat didalam kotak,
x adalah jumlah permen yang diterima Theo
y adalah jumlah permen yang diterima Thobi
$\displaystyle x =\frac{1}{3}p$ dan $\displaystyle y =\frac{1}{4} (p-x)$
$p=x+y+24$
$\displaystyle p = \frac{1}{3}p + \frac{1}{4} (p-x) +24$
$\displaystyle p = \frac{1}{3}p + \frac{1}{4} (p-\frac{1}{3}p) +24$
$\displaystyle p = \frac{1}{3}p + \frac{1}{4} (\frac{2}{3}p) +24$
$\displaystyle p = \frac{2+1}{6}p +24$
$\displaystyle p = \frac{1}{2}p +24$ $\Leftrightarrow$ $2p=p+48$
$\Leftrightarrow$ $p=48$
jadi permen yang terdapat di dalam kotak = 48 - Persamaan garis lurus melalui titik potong $x -3y + 7 = 0$ dengan garis $3x + 2y -1 = 0$ serta tegak lurus dengan garis $x + 2y -3 = 0 $ adalah ...
Jawab
$x -3y + 7 = 0$ kalikan 3 $\Leftrightarrow$ $3x-3y+7=0$
$3x + 2y -1 = 0$ kalikan 1 $\Leftrightarrow$ $\underline{3x-2y+1=0}$ -
$\Leftrightarrow$ $-y+6=0$
$\Leftrightarrow$ $y=6$
$x -3y + 7 = 0$
$x -3.6 + 7 = 0$ $\Leftrightarrow$ $x=12$
Jadi titik potongnya adalah (12, 6)
Misalkan g adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan garis $h=x + 2y -3 = 0 $ dan $m_g$ serta $m_h$ masing-masing adalah gradien garis g dan h.
Pada persamaan garis h, diperoleh $m_h =-2$. Karena g dan h saling tegak lurus,, maka $\displaystyle m_g =-\frac{1}{m_h} =-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$
Persamaan garis g yang melalui (12, 6) dan ber-gradien $\displaystyle m_g =\frac{1}{2}$ adalah
$y-y_1=m_g(x-x1)$
$\displaystyle y-6=\frac{1}{2}(x-12)$
$\Leftrightarrow$ $ 2y -12=x-12$
$\Leftrightarrow$ $2y =x$ - Diketahui
S ={$x| 1\leq x \leq 30$}
A = {$ x|x $ merupakan bilangan kelipatan 4}
B = {$ x|x$ merupakan bilangan kelipatan 3}
C = {$ x|x$ merupakan bilangan kelipatan 12}
Maka $n(A \cap B$ ') $\cup$ C ) = ....
Jawab
$(A \cap B$ ') $\cup$ C ) = A
A = {4, 8,12, 16, 20, 24, 28}
$nA=7$ - Misalkan $(x, y)$ adalah koordinat titik yang memenuhi persamaan $(4-x^2)+(y-3)^2 = 25$. Misalkan pula $(a, b)$ membuat $x^2+y^2$ bernilai minimum dan $(c, d)$ membuat $x^2+y^2$. Maka nilai $ac+bd$ adalah ...
jawab
Untuk setiap $x \epsilon \mathbb{R}$ dan $y \epsilon \mathbb{R}$ akan membuat persamaan $x^2+y^2 \geq 0$. Dengan demimikian nilai minimum $x^2+y^2$ terjadi bila $x =0$ dan $y=0$. dengan demikian $(a, b)$ yang membuat $x^2+y^2$ bernilai minimum adalah $a= 0$ dan $b =0$. Akibatnya $ ac+bd $ = 0 - Jika $f(x)=x^4+x^3+6x^2+4x + 10$, maka nilai $f(\sqrt5-1) = ...$
Jawab
Kaidah Segitiga Pascal
1 $x^0$
1 1 $x-1$
1 2 1 $(x+1)^2 = x^2$+2$x+1$
1 3 3 1 $(x+1)^3 = x^3$+3$x^2$+3$x+1$
1 4 6 4 1 $(x+1)^4 = x^4$+4$x^3$+6$x^2$+4$x+1$
Berdasarkan kaidah paskal. maka
$f(x)=x^4+x^3+6x^2+4x + 10=x^4+x^3+6x^2+4x + 1+9$
$\Leftrightarrow$ $=(x+1)^4+9$
$f(x)=(x+1)^4+9$
dengan demikian
$f(\sqrt5-1) =((\sqrt5-1)+1)^4+9 =(\sqrt5)^4+9=25+9 = 34$ - Luas persegi maksimum yang dapat dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku dengan alas dan tinggnya masing-masing 3 cm dan 4 cm adalah ...
Jawab
Dengan menggunakan sifat perbandingan pada segitiga, diperoleh
$\displaystyle \frac{BC}{AB}=\frac{ED}{AE}$
$\Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{3}{4}=\frac{x}{4-x}$
$\Leftrightarrow$ $ 3(4-x)= 4x$
$\Leftrightarrow$ $12-3x=4x$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle x=\frac{12}{7}$
Sehingga luas maksimumnya adalah $\displaystyle x=\frac{12}{7}\times \frac{12}{7}=\frac{144}{49}$ cm$^2$
No comments:
Post a Comment