Himpunan, Relasi dan Fungsi

A. Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau obyek yang bisa didefinisikan dengan jelas, hingga dengan tepat bisa diketahui obyek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk himpunan tersebut

Contoh: himpunan provinsi yang berada di pulau jawa

              himpunan nama siswa kelas VI SD Melati saat ini yang diawali huruf M

Suatu himpunan biasanya ditulis dengan menggunakan huruf kapital A, B, C, ..., Z.

Benda atau obyek yang termasuk himpunan disebut anggota dari himpunan atau elemen himpunan dan ditulis dengan menggunakan huruf kecil dan terletak dalam kurung kurawal {....}.

Apabila a adalah anggota dari himpunan A, maka ditulis dengan $a \epsilon A$ . Sebaliknya bila a bukan anggota dari himpunan A maka ditulis dengan   . Banyaknya anggota dari himpunan A ditulis dengan n (A).

Himpunan dapat dinyatakan dengan cara:

1. Dengan kata-kata
   yaitu dengan menyebutkan semua syarat ataupun sifat-sifat keanggotaan dari suatu himpunan
   
   
   Contoh" A adalah himpunan bilangan cacah ditulis A = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
   
   
2. Dengan Notasi pembentuk himpunan
   Yaitu menyebutkan semua syarat atau sifat keanggotaan dari suatu himpunan, namun anggota himpunan dinyatakan dalam variable peubah.
   
   
   contohL A adalah himpunan bilangan asli antara 5 dan 12, ditulis A = { $x | 5 < x < 12, x \epsilon \mathbb{N} $ }
   
   
3. Dengan mendaftar anggota-anggotanya 
   yaitu dengan menuliskan anggota-anggota himpunan dalam pasangan kurung kurawal  dan memisahkan anggota-anggotanya dengan tanda koma. 
   
   
   contoh A adalah himpunan bilangan asli antara 5 dan 12 ditulis A = { 6, 7, 8, 9, 10, 11 }

Jenis-jenis himpunan

• Himpunan Semesta
  Himpunan semesta/semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau obyek yang sedang dibicarakan. Biasanya himpunan semesta disimbolkan dengan S atau U.
  
  
  contoh
  Misalkan
     1. A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah sebagai
         berikut:
             a. S = {bilangan Prima}  atau
             b. S = {bilangan Asli}    atau
             c. S = {bilangan cacah}
  
    2. Himpunan Semesta yang mungkin dari  {kambing, Anjing, Kucing} adalah {binatang}, {binatang berkaki empat} atau {binatang memamah biak}
  
  
• Himpunan Kosong
  Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinotasikan dengan { } atau $\varnothing$. Kadangkala kita sering bingung dalam menafsurkan himpunan kosong sama dengan himpunan nol. Namun sebenarnya penafsiran tersebut keliru. Kalau himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, sebaliknya himpunan nol adalah himpunan yang mempunyai anggota 1 yaitu {0}. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:
  
  contoh
  Lima orang anak mendapatkan nilai ulangan matematika sebagai berikut:
       a . Andi   :   7              c. Chepy   : 6                    e. Ermo   : 0
       b.  Budi   :   8              d. Dona    : 9
  
  Pertanyaan :
  Sebutkan himpunan semua anak yang mendapat nilai 5!
  jawab : Tidak ada anak yang mendapat nilai 5. Maka himpunan semua anak yang mendapat nilai 5 adalah himpunan kosong atau {}
  
  Berapakah nilai terendah yang didapat dari kelima anak tersebut?
  Nilai terendah yang didapat dari ke lima anak itu adalah 0. Maka himpunan nilai terendah = {0}
  
  
  
• Himpunan bagian
  Himpunan A merupakan himpunan bagian B bila setiap anggota dari himpunan A juga menjadi anggota dari himpunan B dan dinotasikan dengan $A\subset B$   atau  $B\supset A$ 
  
  
  jika ada himpunan A dan B dimana anggota A merupakan anggota B, maka dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B memuat A dan dilambangkan dengan $A\subset B$
  
  
  Jadi $A \subset B$   jika dan hanya jika  $A \epsilon A \Rightarrow  x \epsilon B$. 
  Jika ada anggota A yang bukan anggota himpunan B, maka A bukan himpunan bagian dari B dan ditulis dengan 
  
  contoh
  1. S = {bilangan asli kurang dari 10} = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 }
      A = {bilangan asli ganjil kurang dari 10} = { 1, 3, 5, 7, 9 }
      B = {bilangan asli genap kurang dari 10} = { 2, 4, 6, 8 }
   
      Maka : $A\subset S \Rightarrow $  himpunan A adalah himpunan bagian dari S
                  $B \subset S \Rightarrow $  himpunan B adalah himpunan bagian dari S
                     himpunan A bukan himpunan bagian dari S
  
  2. Sebutkan himpunan semua bagian dari A = { 2, 3, 5 }
      jawab:  himpunan bagian dari A
                   terdiri atas 1 anggota : { }, { 2 }, { 3 }, { 5 }       : 4 anggota
                   terdiri atas 2 anggota : { 2, 3 }, { 2, 5}, { 3, 5 }   : 3 anggota
                   terdiri atas 3 anggota :  { 2, 3, 5 }                         : 1 anggota
                               total                                                            : 8 anggota
  
  Dari contoh 2, dapat ditentukan rumus yang berkaitan dengan himpunan bagian dari himpunan A yakni
  
           1. Total himpunan bagian (himpunan kuasa)
                bila n (A) banyaknya anggota dari A, maka banyaknya himpunan bagian dari
                himpunan A yang mungkin adalah  $2^{n(A)}$
  
           2. Jumlah himpunan bagian dengan k anggota
               Jika banyaknya himpunan bagian dari A adalah m =  $2^{n(A)}$, maka jumlah himpunan
               bagian  yang memilik k anggota adalah
                                              $\displaystyle =\frac{m!}{(m-k)\times k!}$ 
  
                                               $m!=1 \times 2\times 3 \times ...\times m$
             

Diagram Venn
Diagram Venn dapat digunakan untuk menyatakan hubungan dan operasi-operasi antara 2 himpunan atau lebih

aturan diagram venn

• Himpunan semesta digambarkan dengan persegi panjang dan lambang S ditulis di pojok kiri atas
• Setiap himpunan digambarkan dengan lingkaran dan nama himpunan tersebut ditulis didekat lingkaran tersebut
• setiap anggota himpunan ditunjukan dengan noktah    dan nama anggota ditulis didekat noktah tersebut.

Contoh:

    S = {bilangan asli kurang dari 10} = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 }
    A = {bilangan asli ganjil kurang dari 10} = { 1, 3, 5, 7, 9 }
    B = {bilangan asli genap kurang dari 10} = { 2, 4, 6, 8 }

    diagram Venn

                       

Hubungan antar Himpunan
Hubungan antar Himpunan terbagi menjadi

1. Himpunan sama dengan (=)
   Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika kedua himpunan A dan B  mempunyai jenis anggota yang sama, dapat ditulis A = B
   
   contoh: A = { m, a, u }     B = { u, m, a }
                kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama
   
                              
   
2. Himpunan ekuivalen
   Himpunan A dan himpunan B dikatakan ekuivalen bila kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah anggota yang sama ditulis $A \sim B $..
   
   contoh   A = { 1, 2, 3, 4, 5 }       n (A) = 5
                 B = { a, b, c, d, e }        n (B) = 5
   
3. Himpunan saling lepas
   Himpunan A dan Himpunan B dikatakan saling lepas bila kedua himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama ditulis A | | B atau  $A\supset \subset B$
   
   Contoh: A = { himpunan bilangan positif }
                 B = { himpunan  bilangan negaif }
   
                        
   
4. Himpunan tak saling lepas
   Himpunan A dan himpunan B dikatakan tak saling lepas bila sebagian dari kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama dan ditulis 
   
                         
   
5. Himpunan Bagian
   Himpunan A dan himpunan B dikatakan himpunan bagian bila setiap anggota himpunan A adalah anggota himpunan B dan ditulis dengan $A\subset B$
   
   
                         
   
   
6. Himpunan Komplemen
   Komplemen himpunan A (ditulis dengan A' atau $A^C$) adalah semua anggota himpunan semesta yang bukan merupakan anggota dari himpunan A.
   
                      

Operasi pada himpunan

1. Irisan
   Himpunan A dan himpunan B dikatakan berisan bila ada anggota himpunan A yang juga menjadi anggota himpunan B dan dinotasikan dengan  $A\cap B$ 
   
   contoh  A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }     B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
                maka $A \cap B =$ {4,5,6}            
   
             
   
2. Gabungan
   Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang angota-angotanya merupakan gabungan dari himpunan A dan himpunan B dan dinotasikan dengan $A \cup B$
   
   contoh A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }     B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
               maka  $A \cup B$ = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
   
             
   
3. Selisih
   Himpunan A selisih himpunan B adalah himpunan dari anggota A yang tidak memuat anggota himpunan B dan ditulis A - B.
   
   contoh A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }     B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
               maka A - B   = { 1, 2, 3 }
   
               

Aturan yang berlaku dalam himpunan

1. Hukum Komutatif
         $A \cup B = B \cup A$
         $A \cap B = B \cap A$
          
   
2. Hukum Asosiatif
         $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
         $(A \cap B)\cap C =   A \cap (B \cap C)$
           
   
3. Hukum distributif
         $ (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$
         $ (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$
                           
   
4. Hukum Identitas
         $ A \cap S = A$
         $ A \cup \varnothing = A$
           
   
5. Hukum ikatan
         $ A \cap \varnothing = \varnothing $
         $A  \cup S = S $
       
   
6. Hukum Negasi
         $ A \cap A^C= \varnothing$
         $ A \cup A^C = S$
             
   
7. Hukum Negasi ganda
         $(A^C)^C=A$
                
   
8. Hukum Idempoten
          $A \cap A = A$
          $A \cup A = A$
                 
   
9. Hukum De Morgan
          $(A \cap B)^C = A^C \cup B^C$
          $(A \cup B)^C = A^C \cap B^C$
                        
   
10. Hukum Penyerapan
          $(A \cap B)\cup A = A$
          $(A \cup B)\cap A = A$
                  
    
11. negasi S dan 
          $S^C = \varnothing$
          $\varnothing ^C= S$
                  

B. Relasi

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

Contoh:

diketahui himpunan P = {1, 2, 3, 4, 5} dan Q = {1, 4, 9, 16, 25}. Tentukanlah relasi himpunan P yaang menghubungkan himpunan Q?

Jawab:
Relasi yang dapat menghubungkan antara himpunan P ke himpunan Q adalah "akar dari".

Cara menyajikan relasi

Misalkan diketahui Rani menyukai bulu tangkis dan basket, Dian menyukai basket dan atletik, Doni menyukai senam dan Dila menyukai basket dan tenis meja. Maka relasi himpunan P = {Rani, Dian, Doni, Dila} dan himpunan Q = {Basket, bulu tangkis, atletik, senam, tenis meja} dapat digambarkan sebagai berikut:

1. Diagram panah
   Anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi "menyukai". Hal tersebut ditunjukan dengan arah anak panah
   
                                
2. Diagram kartesius
   Diagram kartesius merupakan diagram yang terdiri atas sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu mendata (sumbu X) dan himpunan Q terletak pada sumbu Y. Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukan dengan noktah atau titik seperti contoh di bawah ini.
   
   
3. Himpunan pasangan berurutan
   Relasi himpunan P dengan himpunan Q dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan. Caranya, anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya. Dengan demikian, himpunan pasangan berurutan himpunan P dengan himpunan Q dapat ditulis sebagai berikut:
   
   {(Rani, Basket), (Rani,Bulutangkis), (Dian, Basket), (Dian, atletik), (Dion, Senam), (Dila, Basket), (Dila, Tenis meja)}

Hasil Kali kartesius

Dalam suatu relasi tentu saja terdapat dua buah himpunan yang dihubungkan dengan relasi tertentu dan dapat disajikan dalam bentuk himpunan berurutan. Oleh karena itu, bila himpunan P dan Q berelasi, maka himpunan pasangan berurutan tersebut merupakan hasil kali kartesius dari himpunan P dan himpunan Q. Secara matematism hasil kali himpunan P dan himpunan Q dapat ditulis dengan:

$P \times Q = $ {$(a, b) | a \epsilon P, b \epsilon Q$ }

Jika diketahui banyak anggota himpunan P adalah n ( P ) = r  dan banyak anggota himpunan Q adalah n ( Q ) = s, maka banyaknya anggota  $P \times Q$   adalah

$n(P \times Q) =n(p) \times n(Q)$ 

Contoh:
Misalkan A = {a, b , c } dan B = {1, 2, 3}, maka

         $A \times B = $ {(a, 1), (a, 2). (a, 3). (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}

         $n (A \times B) = n(A) \times n(B)= 3 \times 3 = 9$ 

PEMETAAN ATAU FUNGSI

Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A tepat satu ke anggota pada himpunan B.

dalam kehidupan sehari=hari, banyak sekali relasi yang menggambarkan relasi fungsi. Misalnya relasi nama negara dengan ibu kotanya, relasi nama siswa dengan nomor induk-nya,  relasi lagu daerah dengan daerah asalnya, dll.

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan $f:A \rightarrow B$    (dibaca f  memetakan anggota himpunan A ke anggota himpunan B).

Jika f  adalah sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B dengan $x \epsilon A$ dan $y \epsilon B$  maka  peta x oleh f adaah y yang dinyatakan oleh f (x). Maka notasi umumnya adalah

$f:x \rightarrow y$  ataun $f:x \rightarrow f(x)$

Istilah-istilah dalam fungsi:
     a. Domain $(D_f) $      : Daerah asal
     b. Kodomain $(K_f)$  : daerah kawan
     c, Range    $ (R_f)$       : daerah hasil

Contoh:

• suatu fungsi  f  dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan aturan x + 2 dengan  $x \epsilon A$.  Jika diketahui A = {2, 3, 5, 7} dan B = {1, 2, 3, ..., 12} tentukan
       a. Himpunan pasangan berurutan
       b. daerah asal, daerah kawan dan daerah hasil dari f 

          jawab
               a. pemetaan f  dari A ke B adalah $f:x \rightarrow x+2$
                   x = 2    maka   f (x) = 2 + 2 = 4
                   x = 3    maka   f (x) = 3 + 2 = 5
                   x = 5    maka   f (x) = 5 + 2 = 7
                   x = 7    maka   f (x) = 7 + 2 = 9

                   himpunan pasangan terurut (x, f (x)) = {(2,4), (3, 5), (5,7), (7, 9)}

               b, Daerah asal  = {2, 3, 5, 7}
                   Daerah kawan = {1, 2, 3, ..., 12}
                   Daerah hasil  = {4, 5, 7, 9}

• Manakah diantara gambar berikut yang bukan merupakan fungsi
  
  
  
  jawab
  gambar a  bukan fungsi karena ada anggota himpunan A yang tidak dipasangkan dengan 
                   anggota di himpunan B
  
  gambar b bukan fungsi karena ada anggota himpunan A yang dipasangkan lebih dari satu
                  dengan anggota di himpunan B
  
  gambar c fungsi karena setiap anggota di A tepat satu dihubungkan dengan anggota di
                  himpunan B.

Sifat-sifat fungsi

• Fungsi Surjektif
  fungsi  $f: A \rightarrow B$ dikatakan fungsi surjektif jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau  $R_f =B$. Dengan kata lain setiap $y \epsilon B$ terdapat $x \epsilon A$ sedemikian sehingga f (x) = y.
  Jika suatu fungsi $f:A \rightarrow B$ surjektif, maka kodomain = range.
  
• Fungsi Unto
  fungsi  $f:A \rightarrow B$ dikatakan fungsi into jika ada elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.
  
• Fungsi Injektif
  fungsi  $f:A \rightarrow B$ dikatakan fungsi injektif jika tidak ada dua anggota atau lebih anggota di himpunan  A yang mempunyai pasangan di B.  Secara matematis, suatu fungsi $f:A \rightarrow B$ dikatakan injektif bila untuk  $a\epsilon A$  dan  $b \epsilon A$ , maka f (a) = f (b). Seringkali fungsi injektif disebut juga fungsi satu-satu.
  
• Fungsi Bijektif
  fungsi  $f:A \rightarrow B$ dikatakan fungsi bijektif jika fungsi tersebut adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif. Apabila fungsi $f:A \rightarrow B$ adalah fungsi bijektif, maka n (A) = n (B)

Menentukan Banyaknya Pemetaan atau Fungsi
Jika banyak anggota himpunan A adalah m dan banyaknya anggota himpunan B adalah n maka banyaknya pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah $n^m$ .

Contoh
Tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan jika himpunan A = :{3, 4, 5} dan B ={a, b}!

jawab
pemetaan yang mungkin terjadi adalah sebagai berikut

karena banyaknya himpunan A adalah 3 dan banyaknya himpunan B adalah 2, maka banyaknya pemetaan yang mungkin ada $2^3$ .

Korespondensi satu-satu

Dua buah himpunan A dan B disebut berkorespondensi satu-satu jika setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan tepat satu anggota di A. Akibatnya, pada korespondensi satu-satu, jumlah anggota A dan B haruslah sama. Dengan demikian, fungsi korespondensi satu-satu tidak lain adalah fungsi bijektif.

Rumus: 

Misalkan banyaknya anggota himpunan A dan B adalah n, maka banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B adalah n!

contoh latihan

1.  Perhatikan pasangan berikut!
   
       (1)  {(1, a), (2, b), (3, b)}
       (2)  {(1, a), (1, b), (3, c)}    (3)  {(2, 4), (4, 8), (6, 12)}    (4)  {(2, 4), (2, 8), (6, 12)}
   Himpunan pasangan yang merupakan pemetaan adalah . . .
   
   jawab
   suatu relasi $f:A \rightarrow B$ dikatakan pemetaan/fungsi apabila untuk  setiap a anggota himpunan A dipasangkan tepat satu anggota di himpunan B. Bila digambarkan dalam diagram anak panah maka,
                             
   dengan demikian
        gambar 1 adalah fungsi
        gambar 2 bukan fungsi karena ada anggota A dipasangkan lebih dari satu di B, yakni  $1 \epsilon A$  gambar 3 adalah fungsi
        gambar 4 bukan fungsi karena ada anggota A dipasangkan lebih dari satu di B, yakni  $2 \epsilon A$
   cara mudah membedakan himpunan pasangan terurut {$(x_1,y_1),( x_2,y_2), (x_3,y_3) ... (x_n,y_n)$}  adalah fungsi atau bukan adalah bila $x_1 \neq x_2 \neq x_3, \neq ....\neq x_n$ , maka himpunan pasangan terurut tersebut adalah fungsi.
    
2. Selidikilah apakah fungsi  $f: \mathbb{R} \rightarrow ,\mathbb{R}$   adalah fungsi satu-satu atau bukan?
   
         a.  $f(x)= x^2+2$
        
             jawab
             ambil x = -1 dan x = 1. maka
   
                    $f(1)=1^2+2 =3$
   
                    $f(1)=(-1)^2 = 3$
                
             dengan demikian f (-1) = f (1). Oleh karena terdapat dua anggota di domain yang
             memiliki peta yang sama di kodomain, maka fungsi f (x) bukan fungsi satu-satu
   
   
            b. $f(x)=x^3-1$
   
                jawab
                ambil $x_1,x_2 \epsilon \mathbb{R}$  sedemikian sehingga $f(x_1)=f(x_2)$   berakibat
   
                        $f(x_1)=f(x_2)$
   
                     $x_1^3-1=x_2^3-1$
   
                           $x_1^3=x_2^3$
   
                             $x_1=x_2$
       karena untuk $f(x_1)=f(x_2)  hanya mungkin terjadi bila $x_1 =x_2$, maka f (x) adalah fungsi satu-satu.
   
   
3. Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } serta B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }. Sebuah fungsi   ditentukan oleh fungsi f (x) = 2x - 1.
       a. gambarlah fungsi f dengan menggunakan diagram panah
       b. Tentukan range dari fungsi f
       c. gambarlah grafik fungsi f
   
   jawab
   
   f (x) = 2x - 1           f (1) = 2 . 1 - 1 = 1
   
                                  f (2) = 2 . 2 - 1 = 3
   
                                  f (3) = 2 . 3 - 1 = 5
   
                                  f (4) = 2 . 4 - 1 = 7
   
   a. diagram panah 
   
      
   
   b. Range = { 1, 3, 5, 7 }
   
   c. grafik fungsi
   
   
   
4. Diketahui f fungsi linier dengan f (0) = -5 dan f (-2) = -9. Bentuk fungsi f (x) adalah . . .
   
   jawab
   suatu fungsi f dikatakan linear bila fungsi tersebut berbentuk f (x) = ax + b. Maka
   
                f (x) = ax + b
   
            *  f (0) = a.0 + b = -5                        berakibat b = -5
   
             * f (-2) = a . (-2) + b = -9
                                - 2a  + (-5) = -9
                                - 2a   -   5   = -9   
                                     - 2a       = -9 + 5
                                     - 2a       =    - 4          berakibat a = 2             
   
   dengan demikian f (x) = ax + b = 2x - 5
   
    
5. Suatu fungsi didefinisikan dengan f(x) = px + q. Jika 3 bayangan dari 2 dan -7 bayangan dari -3. Maka bayangan 5 adalah . . .
   
   jawab
   karena 3 adalah bayangan dari 2 maka          
              f(x) = px + q berakibat  f (2) = p . 2 + q = 3
                                                                2p   + q = 3 .................................... (persamaan 1)
   
   karena -7 adalah bayangan  -3 maka            f(x) = px + q berakibat  f (-3) = p . (-3) + q = - 7
                                                                    -3p   + q = - 7 ............................. (persamaan 2)
   
   dengan metode eliminasi q pada persamaan 1 dan 2 diperoleh
              5p  =    10    berakibat p  =   2
   
   dengan memasukan nilai p =  2 ke persamaan 1 diperoleh
                 2p   +   q   = 3
               2 .  2 +   q   = 3
                  4    +   q   = 3    berakibat  q  =  -1
   
   dengan memasukan nilai p  =  2 dan  q  =  -1 ke persamaan f(x) = px + q
   maka   f(x)   =      2x   -  1 
               f(5)   =    2 . 5 - 1  =  10 - 1 = 9