Latihan Soal OSN bulan November 2019

1. Perhatikan gambar di bawah ini
   
   
   
   Bila keliling daerah abu-abu = $\displaystyle \sqrt 2(\sqrt 5+25)$ cm , maka luas daerah yang diarsir merah  adalah ...
   
   jawab
   perhatikan gambar!
   
   
   AB = 8x satuan, AF = 6x satuan, EF = 6x satuan DC = x satuan , BC = 4x satuan
   
                           DF = $\sqrt {2x^2+x^2}=x\sqrt{5}$
   
   keliling daerah abu-abu = AB + AF + EF + DC + BC + DF
             $\sqrt 2(\sqrt5+25)=8x+6x+6x+x+4x+x\sqrt 5$
             $\sqrt 2(\sqrt5+25)=x(25+\sqrt 5)$
   
     
   berakibat x  =  $\sqrt2$ saruan
   
   Sekarang perhatikan gambar berikut!
   
   
   
   Luas daerah yang diarsir
   
                          =  ( Luas  XSTY - Luas XYZ - Luas XSV - Luas VTW )
   
                         $=(3\sqrt 2\times 4\sqrt 2-\frac{1}{2}\times 3\sqrt 2  \times3\sqrt 2-\frac {1}{2}\times 4\sqrt2 \times 2\sqrt2 -\frac{1}{2}\times \sqrt 2\times 2\sqrt{2}$)
   
                         $=24-9-8-2 =5$ satuan       
                             
   Maka luas seluruh daerah yang diarsir merah =  $2 \times  5=10$ satuan
   
            
2. Bila diketahui  segitiga siku-siku dengan alas 3 cm dan tingg 4 cm, maka luas maksimum persegi yang terletak di dalam segitiga tersebut adalah ...
   
   Jawab:
   Perhatikan gambar berikut:
   
              
   
   
                        $\displaystyle \frac{ED}{BC}=\frac{AD}{AB}$      $\rightarrow$        $\displaystyle\frac{s}{3}=\frac{AD}{5}$      $\rightarrow$      $\displaystyle AD=\frac{5}{3}s$
   
                        $\displaystyle \frac{DF}{AC}=\frac{BD}{AB}$      $\rightarrow$        $\displaystyle \frac{s}{4}=\frac{BD}{5}$      $\rightarrow$      $\displaystyle BD=\frac{5}{4}s$
   
                        $AD+BD=AB$         $\rightarrow$        $\displaystyle\frac{5}{3}s+\frac{5}{4}s=5$
   
                                                               $\rightarrow$        $\displaystyle\frac{20}{12}s+\frac{15}{12}s=5$
   
                                                               $\rightarrow$        $\displaystyle\frac{35}{12}s=60$
   
                                                               $\rightarrow$        $\displaystyle s=\frac{60}{35}=\frac{12}{7}$
    
    Luas persegi = $\displaystyle s\times s=\frac{12}{7}\times\frac{12}{7}=\frac{144}{49} cm^2$
   
           
   
   
3. Diketahui suatu bangun datar sebagai berikut
   
   
   
   Hitunglah luas daerah yang diarsir
   
   Jawab
   
   
   
                    $AB^2+BC^2=AC^2$
   
                    $(4x)^2+x^2=(3\sqrt{17})^2$
   
                    $16x^2+x^2=9\times17$
   
                    $17x^2=(9\times{17})^2$
   
                   $x^2=9$    $\rightarrow$      $x = \pm 3$
   
   Karena ukuran jarak selalu positif, maka pilih  x = 3.
   
   
   Luas daerah yang diarsir = luas trapesium + luas segitiga
   
                                         $\displaystyle=\frac{(x+3x)}{2}\times x+\frac{1}{2}\times 3x\times 3$
   
                                         $\displaystyle=\frac{(3+3\times 3)}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 3\times 3 \times 3$
   
                                          =          18                 +         13,5      = 31.5 satuan luas
    
    
4. Hitunglah luas daerah yang diarsir dari gambar di bawah ini!
   
   
   
   jawab
   
   Misalkan R = jari-jari lingkaran besar dan r adalah jari-jari lingkaran kecil.
   Luas 1/2 lingkaran paling besar adalah $\displaystyle\frac {1}{2}.\pi  . R^2=\frac{1}{2}\pi.2^2=2\pi$
   
   Luas lingkaran kecil = $\pi . r^2 =\pi . 1^2 =\pi$
   
   Sekarang perhatikan gambar berikut
   
   
   
   tinggi segitiga XYD = XF
   
                     XF=$\displaystyle\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt 3$
   
    luas segitiga XYD = $\displaystyle \frac{1}{2}.XY.XF=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\sqrt 3\times 1=\frac{1}{4}\sqrt 3$ 
     
   
   luas juring XYD = $\displaystyle \frac{60}{360}\times$  luas lingkaran kecil
   
                               = $\displaystyle \frac{60}{360}\times \pi.r^2=\frac{1}{6}\pi .1^2=\frac{\pi}{6}$
   
   luas tembereng XY (daerah merah) = Luas segitiga XYD - Luas juring XYD
   
                                                            = $\displaystyle \frac{\pi}{6}-\frac{1}{4}\sqrt 3$  
   
   luas dua tembereng XD dan YE  =  $\displaystyle 2 \times (\frac{\pi}{6}-\frac{1}{4}\sqrt 3)=\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\sqrt 3$
   
   luas daerah merah = luas juring XYD - 2 luas tembereng
   
                                 $=\displaystyle \frac{\pi}{6}-(\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\sqrt 3)=\frac {1}{2}\sqrt 3-\frac{\pi}{6}$
   
   Jadi luas daerah yang diarsir (abu-abu)
   
   =  Luas 1/2 lingkaran paling besar - luas lingkaran kecil - luas daerah merah
   
   $=\displaystyle 2 \pi-\pi-(\frac{1}{2}\sqrt 3-\frac{\pi}{6})=\frac{7\pi}{6}-\frac{1}{2}\sqrt 3$
   
   
   
5. Berapakah perbandingan luas daerah yang diarsir dengan luas seluruh persegi dari gambar di bawah ini?
   
   
   
   jawab
   perhatikan gambar di bawah ini
   
   
   
   Persegi EFHG memiliki panjang sisi 6 satuan
   segi empat ABCD  adalah persegi dengan panjang sisi sebagai berikut
   
   $AD=\sqrt{AE^2+ED^2}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$satuan
   
   maka perbandingan luasnya adalah
   
      Luas EFGH  :  Luas ABCD = $6\times6 $  :  $\sqrt{26}\times \sqrt{26}$   = 36  :  26  = 18 : 13
   
   
6. Julia dan Tony memiliki sejumlah uang. Jumlah uang yang dimiliki Julia adalah  $\displaystyle \frac{3}{5}$   dari uangnya Tony. Jika Tony memberikan uang Rp 168.000 kepada Julia maka jumlah uang Tony adalah  $\displaystyle\frac{7}{9}$  dari uang yang dimiliki Julia.  Berapakah uang yang dimiliki Julia?
   
   jawab
   
   misalkan x adalah uang yang dimiliki Julia dan y adalah uang yang dimiliki Tony. Maka persamaan yang dapat dibentuk adalah
   
               $\displaystyle x=\frac{3}{5}y$                                            ........... persamaan 1
   
               $\displaystyle y-168.000=\frac{7}{9}(x+168.000)$        .......... persamaan 2
   
   dengan mensubtitusikan nilai x pada persamaan 1 ke dalam persamaan 2 diperoleh
   
                $\displaystyle y-168.000=\frac{7}{9}(x+168.000)$     
   
                $\displaystyle \frac{5}{3}x-168.000=\frac{7}{9}(x+168.000)$
                 
                $\displaystyle \frac{5}{3}x-168.000=\frac{7}{9}x+\frac{168.000}{9}$
   
                $\displaystyle \frac{5}{3}x-\frac{7}{9}x=168.000+\frac{168.000}{9}$
   
                $\displaystyle \frac{8}{9}x=\frac{1.680.000}{9}$
           
                $\displaystyle x=\frac{1.680.000}{8} = Rp.210.000$ 
   
   Jadi uang yang dimiliki Julia adalah Rp. 210.000
   
   
   
7. Perhatikan gambar  dibawah ini!
   
   
   ACB merupakan setengah lingkaran dengan diameter AB = 21 cm. Sudut DAB = 30º dan busur DB adalah bagian dari lingkaran lain yang berpusat di A. Tentukan keliling daerah yang diarsir!
   
   jawab
   
   panjang busur  $\displaystyle BD = \frac {\angle DAB}{\angle lingkaran}\times 2\times\pi R$ 
   
                                   $\displaystyle=\frac{1}{12}\times 2\times 22\times 3 = 11 cm$
   
   
   panjang busur $\displaystyle AB=\frac {1}{2}\times 2\pi r$  
   
                                   $\displaystyle = \frac{1}{2}\times 2\times\frac{22}{7}\times 10,5=22\times 1,5=33$ cm
   
   
jadi keliling daerah yang diarsir = panjang busur BD + panjang busur ABC + AD


                                          =            11               +              33                +  21

                                          = 65 cm



8. Tentukan nilai dari 20042005     20052004 - 20042004    20052005
   
   jawab
   
   20042005     20052004 - 20042004    20052005
   
             = (20042004 + 1)    (20052005-1) - 20042004    20052005
   
             = (20042004    20052005) - 20042004 +20052005 - (20042004    20052005)
   
             =   20052005 - 20042004 = 10001
   
   
   
9. Lala hanya bicara jujur pada hari Senin, Rabu, Jumat dan Minggu.
   Nana hanya bicara jujur pada hari Senin, Selasa, Rabu dan Kamis
   tentukan hari dimana mereka sama-sama berkata "kemarin saya berbohong"
   
   jawab
   
   perhatikan tabel berikut
   
                        Senin       Selasa        Rabu         Kamis         Jumat         Sabtu         Minggu
      a. Lala        Jujur      bohong        jujur         bohong         jujur        bohong          jujur
      b. Nana      Jujur        Jujur          Jujur           Jujur         bohong     bohong        bohong
   
   dengan memperhatikan tabel maka diperoleh
   
       a. Pada hari Senin
           -  Lala seharusnya berkata jujur. maka hari minggu dia harusnya berbohong. Tetapi pada
              kenyataannya, hari Minggu Lala berkata jujur. Dengan demikian Lala berkata "kemarin
              saya bohong" adalah perkataan yang keliru sebab kalau Lala harus jujur pada hari
              Senin, maka seharusnya dia berkata "kemarin  saya jujur"
   
           -  sebaliknya, Nana seharusnya berkata jujur. maka hari Minggu dia harusnya berbohong
              Tapi pada kenyataannya, Nana berbicara bohong pada hari Minggu. Dengan demikian
              Nana berkata "kemarin saya bohong" adalah perkataan yang benar.
   
       b. Pada hari selasa
            - Lala seharusnya berbohong. Jadi kalau hari Selasa dia berkata "kemarin saya
              berbohong" maka seharusnya kenyataan di hari senin dia harus berkata jujur. tetapi
              memang di hari senin Lala berkata jujur.  Jadi pernyataan yang diungkapkan Lala pada
              hari selasa bahwa "kemarin saya berbohong" adalah pernyataan benar
      
            - sebaliknya, Nana seharusnya berkata jujur. maka hari Senin dia harusnya berbohong
              Tapi pada kenyataannya, Nana berbicara jujur pada hari Senin. Dengan demikian Nana
              berkata "kemarin saya bohong" adalah perkataan yang keliru. sebab kalau Nana harus
              jujur pada hari Selasa, maka seharusnya dia berkata "kemarin saya jujur"
   
       c. Pada hari Rabu
           -  Lala seharusnya berkata jujur. maka hari Selasa dia harusnya berbohong. Tetapi pada
              kenyataannya, pada hari Selasa, Lala berbohong. Dengan demikian Lala berkata
              "kemarin saya berbohong" adalah pernyataan yang benar.
   
            - sebaliknya, Nana seharusnya berkata jujur. maka hari Selasa dia harusnya berbohong
              Tapi pada kenyataannya, Nana berbicara jujur pada hari Selasa. Dengan demikian Nana
              berkata "kemarin saya bohong" adalah perkataan yang keliru. sebab kalau Nana harus
              jujur pada hari Rabu, maka seharusnya dia berkata "kemarin saya jujur"
   
   
       d. Pada hari Kamis
            - Lala seharusnya berbohong. Jadi kalau hari Kamis dia berkata "kemarin saya
              berbohong" maka seharusnya kenyataan di hari Rabu dia harus berkata jujur. tetapi
              memang di hari Rabu Lala berkata jujur.  Jadi pernyataan yang diungkapkan Lala pada
              hari selasa bahwa "kemarin saya berbohong" adalah pernyataan benar
   
            - sebaliknya, Nana seharusnya berkata jujur. maka hari Rabu dia harusnya berbohong
              Tapi pada kenyataannya, Nana berbicara jujur pada hari Rabu. Dengan demikian Nana
              berkata "kemarin saya bohong" adalah perkataan yang keliru. sebab kalau Nana harus
              jujur pada hari Kamis, maka seharusnya dia berkata "kemarin saya jujur"
      
   e. Pada hari Jumat
           -  Lala seharusnya berkata jujur. maka hari Kamis dia harusnya berbohong. Tetapi pada
              kenyataannya, pada hari Kamis, Lala berbohong. Dengan demikian Lala berkata
              "kemarin saya berbohong" adalah pernyataan yang benar.
   
            - sebaliknya, Nana seharusnya berkata bohong. maka hari Kamis dia harusnya jujur
              Tapi pada kenyataannya, Nana berbicara jujur pada hari kamis. Dengan demikian Nana
              berkata "kemarin saya bohong" adalah perkataan yang benar.
   
   tanpa memeriksa hari Sabtu dan Minggu, sudah didapatkan bahwa mereka sama-sama berkata "kemarin saya berbohong" pada hari Jumat.
   
               
10. Hitunglah  $\displaystyle\frac{3^{100}+3^{100}+3^{100}}{3^{101}-3^{100}-3^{99}} $ !
    
    jawab
    
         $\displaystyle\frac{3^{100}+3^{100}+3^{100}}{3^{10`}-3^{100}-3^{99}} = \displaystyle\frac{3\times 3^{101}}{3^{101}-3^{101-1}-3^{101-2}} = \frac{3^{101}}{3^{101}-3^{101}\times \frac{1}{3}-3^{98}\times \frac{1}{9}}$ 
    
    $\displaystyle = \frac{3^{101}}{3^{101}\times(1-\frac{1}{3}- \frac{1}{9})}=\frac{1}{\frac{9-3-1}{9}}=\frac{1}{\frac{5}{9}}=\frac{9}{5}$ 
    
    
    
    
11. Perhatikan trapesium ABCD di bawah ini! (untuk latihan dirumah ya)
    
    
    
    E terletak pada BC sedemikian sehingga BE : EC = 1 : 4
    AE membagi ABCD menjadi dua bagian dimana luas ABE : luas AECD = 1 : 6. Berapakah perbandingan AD : CD ?