SOAL HOTS SMA NOVEMBER 2019 (bagian 1)

1. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan rusuk 6. Titik P adalah titik tengah TC. Jika $\alpha$   adalah sudut antara AP dengan bidang ABC, maka sin $\alpha$  = ....
   
   jawab
   
   
   Perhatikan bahwa prisma TABC adalah prisma beraturan dengan rusuk = 6 cm
   dengan demikian panjang AP adalah
   
                      AP=$\sqrt{AT^2-TP^2}=\sqrt {6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{}27=3\sqrt3$   
   
   Perhatikan bahwa TO adalah garis tinggi prisma. AP = CD =3$\sqrt 3$ dan CO : CD = 2 : 3.
   Oleh karena itu CO = 2$\sqrt 3$ dan TO dapat diperoleh, yakni:
   
               $TO=\sqrt{TC^2-CO^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt 3)^2} =\sqrt{36-12}=2\sqrt 6$
       
   Sekarang perhatikan segitig TCD
   
                                    
   
   PX dan TO sejajar, dan CPX sebanding dengan COT. Dengan demikian
   
                           $\frac{PX}{TO}=\frac{CP}{CT}$  $\rightarrow$     $\frac{PX}{2\sqrt 6}=\frac{3}{6}$  $\rightarrow$ $PX=\sqrt 6$
             
   
   maka                   sin $\alpha = \frac {PX}{AP}=\frac{\sqrt 6}{3\sqrt 3}=\frac {1}{3}\sqrt 2$
             
     
2. Turunan kedua f (x) adalah f ''(x) = 6x - 2. Jika y = f (x) melalui titik A (1, 6) dan garis singgung y = f (x) dititik A mempunyai gradeien 4, maka f (x) = ...
   
   jawab
     
                 f '(x) = $\int f(x) dx = \int (6x-2) dx =3x^2-2x+C$
   
   diketahui  garis singgung f (x)  dititik A (1, 6) memiliki gradien 4, maka
   
                $f'(1)=3.1^2-2.1+C$
                   4       =        1         + C      
                   berakibat C = 3
   
   maka persamaannya adalah  $f'(x) = 3x^2-2x +3$
   dengan demikian diperoleh:
   
                 $f(x)dx=\int f'(x)dx=\int(3x^2-2x+3)dx=x^3-x^2+3x+C$
   
   karena f (x) melalui titil A (1, 6) maka
   
                 $f(1)=1^3-1^2 +3.1+C$
                     $ 6$   =       $3 + C$     
                     berakibat C =  3
   
   jadi  $f(x)=x^3-x^2+3x+3$
   
   
3. Nilai dari  $\frac{^3log36 \times ^6log81-^4log32}{^9log27}$  adalah ...
   
   jawab
   
   $\frac{^3log36 \times ^6log81-^4log32}{^9log27}$ = $\frac{^3log6^2 \times ^6log3^4-^{2^2}log2^5}{^{3^2}log3^3}$ =$\frac{2^3log6 \times 4^6log3-\frac{5}{2}^2log2}{\frac{3}{2}^3log3}$=$\frac{8^3log6 \times ^6log3-\frac{5}{2}.1}{\frac{3}{2} . 1}$=$\frac{8 .^3log3-\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}. 1}$
   
                                  =$\frac{8 .1-\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}. 1}$  =  $\frac{8 -\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}. 1}  =  \frac{11}{3}$
   
      
4. Jika fungsi $f$($x$) = $a$ sin ($ax$) + 10 mempunyai periode  $\begin{aligned}\dfrac{\pi}{2}\end{aligned}$, maka nilai minimum fungsi $f$ adalah ....
   
   Jawab
   fungsi periodik adalah fungsi yang memenuhi:  $f(x)=f(x+p)$  dengan p adalah periodiknya.
   
   karena f (x) mempunyai periode $\frac {\pi}{2}$  maka:  $f(x)=f(x+\frac{\pi}{2})$  dengan demikian:
   
                     $f(x+\frac{\pi}{2})=a^2.sin(a(x+\frac{\pi}{2}))+10=a^2.sin(ax+\frac{a\pi}{2})+10$
    
                                                dan  
   
                               $f(x)=a^2.sin(ax)+10$
   
   fungsi periodik adalah fungsi yang memenuhi: 
                                 $f(x)=f(x+p)$,
   
    maka
   
             $a^2.sin(ax)+10 =a^2sin(ax+\frac{a\pi}{2})+10$
   
                       $a^2.sin(ax)=a^2.sin(ax+\frac{a\pi}{2}) $
   
   perhatikan bahwa bila a = 0, maka f (x) = 10 dan bukan fungsi periodik. Dengan demikian haruslah  $a\neq0$
   kemudian sebagaimana diketahui $sin x = sin(x+2 \pi)$ , maka jika $a\neq0$ berakibat
   
                                  $a^2.sin(ax)=a^2.sin(ax+\frac{a\pi}{2}) $      
   
                                        $sin(ax)=sin(ax+\frac{a\pi}{2}) $      
   
                              $sin(ax+2\pi)=sin(ax+\frac{a\pi}{2}) $  
   
                                     $(ax+2\pi)=(ax+\frac{a\pi}{2}) $      
   
                                       $2\pi=\frac{a\pi}{2}$    $\rightarrow$   $a=4$    
      
    dengan demikian diperoleh
   
                  $f(x)=4^2.sin(4x)+10$
   
                  $f(x)=16.sin(4x)+10$
   
   karena fungsi  $-1]leq sin4x\leq 1$  maka nilai minumum dari $f(x)=16 . sin(4x)+10$
   dengan demikian   
   
                    $16.(-1)+10 \leq f(x) \leq  16.1+10$ 
      
                                      $ -6 \leq f(x)\leq 26$
                                     
   jadi nilai minimumnya adalah $f(x)=16.sin (4x)+10=-6$
   
   
5. Jika nilai maksimum dan nilai minimum fungsi $f$($x$) = $a$cos ($x$) + $b$ berturut-turut adalah 5 dan 1, maka nilai $a$2 + $b$2 adalah ....
   
   Jawab
   
   karena   $-1 \leq cos x\leq 1$, maka nilai
    
        a.   $f$($x$) max terjadi bila  $cos x = 1$   berakibat
                 $f(x)=a.cos x+b$  
                       $5 =a.1+b$ 
                       $5=a+b$        .................................. persamaan 1
   
         b.  $f$($x$) min terkadi bila cos x = -1
                $f(x)=a.cos x+b$    
                      $1=a(-1)+b$   
                      $1=-a+b$  ...................................... persamaan 2
   
   dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh b = 3 dan a = 2
   
   dengan demikian   $a^2+b^2=2^2+3^2=13$
   
   
   
6. Jika $A$ dan $B$ memenuhi 
   
      $\begin{Bmatrix} \dfrac{A}{A-B}+\dfrac{A}{A+B}=\dfrac{7}{3}\\ \dfrac{2A}{A-B}-\dfrac{3B}{A+B}=3\end{Bmatrix}$,
   
    maka $\begin{aligned}\dfrac{AB}{A^{2}-B^{2}}=....\end{aligned}$
   
   
   jawab
   misalkan  $x= \frac{A}{A-B}$   dan     $y=\frac{B}{A+B}$
   
   maka:  $x+y=\frac{7}{3}$      $(\times 3)$    $\rightarrow$     $3x+3y=7$   ,................. persamaan 1
   
             $2x-3y=3$     $(\times 1)$   $\rightarrow$      $2x-3y=3$   .................. persamaan 2
   
   dengan  mengeliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh x = 2 dan  $y=\frac{1}{3}$
   
   dengan demikian
   
               $x\times y=\frac{A}{A-B}\times \frac{B}{A+B}=\frac{AB}{A^2-B^2}$
   
             $\frac{AB}{A^2-B^2}=2\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
       
7. Misalkan $x$ dan $y$ memenuhi
   $\begin{cases}\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{3}{x-2y}=2\\\dfrac{4}{x+y}-\dfrac{1}{x-2y}=-3\end{cases}$
   maka $x^2-xy-2y^2$ =  ....
   
   jawab
   
   misalkan $A=\frac{1}{x+y}$  dan  $B = \frac {1}{x-2y}$
   
   maka   $2A+3B=2$    $\rightarrow$   $2A+3B=2$       .  ...................persamaan 1
   
               $4A-B=-3$    $\rightarrow$   $12A-3B=-9$  ................... persamaan 2
   
   dengan mengeliminasi persamaan 1 dan persamaan 2 maka diperoleh   $A=-\frac{1}{2}$  dan  B = 1
   
   dengan demikian
   
          $\frac{1}{A}\times \frac{1}{B}=(x+y)(x-2y)$
   
             $ 2 \times \frac{1}{1}=x^2-xy-2y^2$
   
              $-2$      = $x^2-xy-2y^2$
   
   jadi, $x^2-xy-2y^2=-2$
        
   
   
8. Salah satu akar persamaan kuadrat  $(a-2)x^2+(a-6)x-(a+7)=0$  adalah 5. Maka akar-akar yang lainnya adalah ...
   
   jawab
         $x_1+x_2=-\frac{b}{1}$       $\rightarrow$      $5+x_2=-\frac{a-6}{a-2}$    ............. persamaan 1
   
   
           $x_1 \times x_2=\frac{c}{a}$        $\rightarrow$        $5 \times x_2=-\frac {a+7}{a-2}$   ............. persamaan 2
   
   subtutusikan persamaan 2 ke persamaan 1
   
           $5 + x_2=-\frac {a-6}{a-2}$           $\rightarrow$      $5 + (-\frac{a+7}{5(a-2)})$     = $-\frac {a-6}{a-2}$
   
                                                 $\rightarrow$      $\frac{25(a-2)-(a+7)}{5(a-2)})$      = $-\frac {a-6}{a-2}$
   
                                                $\rightarrow$      $25a-50-a-7$ = $-5a+30$
   
                                                $\rightarrow$            $24a-57$ = $-5a+30$
                 
                                                 $\rightarrow$                 $29a$    =      $87$
    
                                                 $\rightarrow$                     $a$    =      $\frac{87}{29}=3$        
                            
                 
   subtitusikan nilai a = 3 ke persamaan 2
   
                    $x_2=-\frac{a+7}{5(a-2)}=-\frac{3+7}{5(3-2)}=-\frac{10}{2}=-5$ 
   
   
   
9. Hasil dari  $\displaystyle \lim_{x \to 6}\frac{\sqrt{x-2}-2}{\sqrt{2x-3}-3}$ adalah ...
   
   Jawab
   
   Andaikan fungsi $p(x) =\frac{\sqrt{x-2}-2}{\sqrt{2x-3}-3}$, maka untuk x = 6 nilai $p(x)=\frac{0}{0}$ . Dengan demikian aturan D'hospital bisa digunakan.
   
   misalkan $f(x)=\sqrt{x-2}-2=(x-2)^{1/2}-2$,      maka  $f'(x)=\frac{1}{2}(x-2)^{-1/2}$
   
                  $g(x)=\sqrt{2x-3}-3=(2x-2)^{1/2}-3$,  maka  $g'(x)={2}(x-2)^{-1/2}  $  
   
   dengan mengguakan aturan D'Hospital $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$. diperoleh
   
   $\displaystyle\lim_{x \to 6}\frac{\sqrt{x-2}-2}{\sqrt{2x-3}-3}=\lim_{x \to 6}\frac{\frac{1}{2}(x-2)^{-\frac{1}{2}}}{(2x-3)^{-\frac{1}{2}}}=\lim_{x \to 6}\frac{\frac{1}{2}(6-2)^{-\frac{1}{2}}}{(2.6-3)^{-\frac{1}{2}}}=\lim_{x \to 6}\frac{\frac{1}{2}(4)^{-\frac{1}{2}}}{(9)^{-\frac{1}{2}}}=\lim_{x\to6}\frac{3}{2.2}=\frac{3}{4}$
   
      
   
   

Jika nilai $\displaystyle\frac{a-b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a-c}{b}$  , maka nilai   $\displaystyle\frac{a}{a+b+c}=...$

jawab

dengan menjumlahkan persamaan 1, 2 dan 3 diperoleh
               
                      $2a^2 -b^2-ac=2bc+ac+b^2$       
                            $2a^2-2b^2$   =   $2bc+2ac$     
                                $a^2-b^2$   =    $c(a+b)$    
                     $(a - b)(a+b)$  =  $c(a+b)$   
                                   $a-b$    = $c$
                                 ....................................... persamaan 4

masukan persamaan terakhir ke definisi pada soal, diperoleh

• $\displaystyle \frac{a-b}{c}=\frac{b+c}{a}$

      $\displaystyle \frac{c}{c}=\frac{b+c}{a}$

 

       $\displaystyle 1=\frac{b+c}{a}$          $\rightarrow$   $a=b+c$

• dengan demikian

        $\displaystyle\frac{a}{a+b+c}=\frac{a}{a+b+(a-b)}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$

10. Nilai x yang memenuhi persamaan  $^x log (x+12) -3 . ^x log 4-1=0$  adalah ...

jawab

  $^x log (x+12) -3 . ^x log 4-1=0$

     $^x log (x+12) -^x log 4^3-1=0$

                $^x log \frac{(x+12)x}{4^3}$                =  $^x log 1$

                      $\frac{(x+12)x}{64}$                 $= 1$ 

                         $x^2+12x-64=0$

                      $(x-4)(x+16)=0$ 

                      Hp={x|x =4  atau x = -16}

karena berdasarkan definisi logaritma $^a log b =c$    $\rightarrow$     $a >0$, maka nilai x yang memenuhi adalah x = 4