Operasi Hitung Pecahan

Operasi Hitung Pecahan

A. Bentuk Pecahan

Ada 5 bentuk pecahan yang biasanya terdapat dalam operasi perhitungan matematika:

1. Pecahan Biasa
   Pecahan biasa adalah pecahan yang terdiri dari pembilang dan penyebut. Biasanya ditulis dengan notasi $\frac{a}{b}$,  dimana a menyatakan pembilang dan b menyatakan penyebut.
   
   contoh
   
             $\frac{1}{2}. \frac{3}{5}, \frac{6}{7}. \frac {8}{6}, ...$        
   
   pecahan sebenarnya bentuk umum dari pembagian. Artinya bentuk dari $\frac{a}{b} $= a : b . Dengan demikian kita dapat menulis suatu pembagian dengan menggunakan pecahan biasa seperti contoh berikut ini
     
                                1: 2 = $\frac {1}{2}$                            7 : 1 = $\frac {7}{1}$   
                       
                                15: 3 = $\frac {15}{3}$                        8 : 9 = $\frac {8}{9}$ 
    
2. Pecahan campuran
   Pecahan campuran adalah pecahan yang merupakan campuran antara bilangan bulat dan pecahan biasa. Notasi yang umum dalam pecahan campuran berbentuk $a \frac{b}{c}$   dimana a adalah bilangan bulat dan $\frac{b}{c}$ adalah pecahan biasa. Sebagai catatan, pada pecahan campuran biasanya nilai b < c.
   contoh.
   
                      $3\frac{1}{2}, 4\frac{5}{8}, 12\frac{2}{3}, 4\frac{7}{9}, ....$
   
   penulisan pecahan campuran seperti $4\frac{5}{3}$ adalah hal yang tidak wajar dalam matematika karena nilai b = 5 dan c = 3 sehingga b > c yang mana hal ini sudah menyalahi aturan penulisan.
   
   pecahan campuran dapat diperoleh dari mengubah pecahan biasa dengan menggunakan pembagian biasa dengan ketentuan
           a. Pecahan biasa yang akan diubah ke pecahan campuran harus memiliki pembilang yang
               lebih besar daripada penyebutnya.
           b. hasil dari pembagian akan menjadi bilangan bulat pada pecahan campuran
           c. sisa dari hasil pembagian akan menjadi pembilang dari pecahan biasa pada pecahan
               campuran
           d. penyebut akan menjadi penyebut juga dari pecahan biasa pada pecahan campuran
   
   
   contoh:
   
                       $\frac {124}{5}=24\frac{4}{5}$
   
   
   
   
   
   
3. Pecahan desimal
   Pecahan desimal adalah suatu bilangan yang menggunakan tanda koma dan dinotasikan dengan a,b. Jumlah angka dibelakang koma menunjukan kelipatan per 10 dari bilangan ab.
   
   contoh:
   
            $3,5 = \frac {35}{10}$                                  $0,08 = \frac {8}{100}$                
   
            $4,25 = \frac {425}{100}$                            $0,125 = \frac {125}{1000}$                          
   
     
   pecahan desimal dapat diperoleh dari pecahan biasa dengan cara tertentu menggunakan metode pembagian bersusun.
   
   contoh:
   
                   $\frac{124}{5}=24,8$                                                       $\frac{3}{4}=0,75$  
   
                           
   
   
   
4. Persen
   Persen adalah istilah lain dri bilangan penyebut 100 dan biasanya dinyatakan dengan a % yang berarti  $\frac{a}{100}$
   
   contoh
   
            0,4 % = $\frac {0,4}{100}$                                    25 % = $\frac {25}{100}$   
   
                                  
            8 % = $\frac {8}{100}$                                     75,5 % = $\frac {75,5}{100}$  
   
   
   
5. Permil
   permil adalah istilah lain dari bilangan pecahan dengan penyebut 1000 dan dinotasikan dengan 
   
   
                                                          $a$ $ ^0/_{00}$
   
   
   contoh
   
               $0,1$ $ ^0/_{00}$ $=\frac{0,1}{1000}$                          $72,5$ $ ^0/_{00}$ $=\frac{72,5}{1000}$
   
    
               $12$ $ ^0/_{00}$ $=\frac{12}{1000}$                             $125$ $ ^0/_{00}$ $=\frac{125}{1000}$
     

B. Menyederhanakan dan mengurutkan pecahan

1. Pecahan senilai
   pecahan senilai adalah dua atau lebih pecahan dengan bentuk pecahan berbeda tetapi memiliki nilai yang sama.
   
   contoh
   pecahan $\frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{6}$  adalah tiga pecahan senilai. Untuk lebih jelasnya, perhatikan ketiga gambar berikut:
   
                                     
   
   Cara memperoleh pecahan senilai:
   Pecahan senilai dapat diperoleh dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama. Secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut:
   
                           $\frac{a}{b}=\frac{a \times c}{b \times c}$         atau      $\frac{a}{b}=\frac{a : c}{b : c}$
   
   
2. Menyederhanakan Pecahan
   Untuk menyederhanakan pecahan, dapat dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama. bilangan yang sama itu adalah FPB dari pembilang dan penyebutnya.
   
   contoh
   
          sederhanakanlah pecahan berikut!
   
            a.  $\frac{36}{90}$         
   
          jawab
   
            a. faktorisasi prima $36 =2^2 \times 3^2$  
   
                faktorisasi prima $90 = 2 \times 3^2 \times 5$
   
                FPB 36 dan 90 $=2 \times 3^2=18$
   
                jadi bentuk sederhana dari $\frac{36}{90}=\frac{36:18}{90:18}=\frac{2}{5}$ 
   
            b. faktorisasi prima $42=2 \times 3 \times 7$
   
                faktorisasi prima $56 =2^3 \times 7$
   
                FPB 42 dan 56 $=2 \times 7 =14$
   
                jadi bentuk sederhana  $\frac{42}{56}=\frac{42:14}{56:14}=\frac{3}{4}$
   
   
3. Mengurutkan pecahan
   untuk mengurutkan pecahan, langkah-langkah yang perlu diperhatikan adalah
        a. menentukan KPK dari semua penyebut
        b. menyamakan penyebut semua pecahan
        c. Mengurutkan pembilang dari pecahan tersebut
   
   contoh
        Diketahui pecahan  $\frac{1}{3}, \frac{5}{6}, \frac{7}{9}, \frac{11}{18}$ . Urutkanlah pecahan-pecahan tersebut dimulai dari yang
        terkecil!
   
   jawab
         KPK dari 3, 6, 9 dan 18 adalah 18. Maka
   
                      $\frac{1}{3}=\frac{6}{18}$                   $\frac{7}{9}=\frac{4}{18}$      
   
                      $\frac{5}{6}=\frac{15}{18}$                   $\frac{11}{18}=\frac{11}{18}$                                           
    
   jadi urutan dari yang terkecil adalah $\frac{1}{3}, \frac{11}{18}, \frac{7}{9}, \frac{5}{6}$
    

C. Nilai Pecahan Dari Kuantitas tertentu
Menentukan nilai pecahan dari kuantitas tertentu sama juga dengan menentukan nilai pecahan dari jumlah tertentu. Misalnya 25 % dari uang Tino,    dari umur Budi, dll. Cara menentukan nilai pecahan dari kuantitas tertentu adaah dengan mengalikan pecahan dengan kuantitas tersebut.

Contoh:

a. Berapakah nilai $\frac{1}{3}$ dari 18 ?                                          c. Berapakah 45% dari 320?

    Jawab                                                                               Jawab
       
     $\frac{1}{3}$  dari 18  =  $\frac{1}{3}\times 18=\frac {18}{3}=6$       
                                  

     45% dari 320 =  $\frac{45}{100}\times 320=\frac {9}{20} \times 320=9 \times 16 = 144$

b. Berapakah nilai 2,2 dari 65

    2,2 dari 65 = $\frac{22}{10} \times 65=\frac{11}{5}\times 65 = 11 \times 13 =143$
                                 

E. Operasi Hitung Pecahan

1. Operasi Penjumlahan/Pengurangan
   Ada dua hal yang perlu diperhatikan dalam melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan pecahan biasa.
      
        a. Jika pecahan-pecahan yang akan dikenakan operasi penjumlahan/pengurangan
            mempunyai penyebut yang sama, maka yang dijumlahkan/dikurangkan hanyalah
            pembilangnya saja.
   
             contoh
              
                     $\frac {2}{9}+\frac{5}{9}=\frac{7}{9}$     
   
                     $\frac{8}{13}-\frac{5}{13}=\frac{3}{13}$
     
            
       b. Jika pecahan-pecahan yang akan dikenakan operasi penjumlahan/pengurangan
           mempunyai penyebut yang berbeda, maka penyebut dari pecahan tersebut disamakan
           terlebih dahulu baru kemudian dijumlahkan. Cara menyamakan penyebut dapat
           menggunakan aturan berikut:
   
                    b.1. Metode KPK
                           Langkah yang dilakukan dengan menggunakan metode ini adalah dengan
                           menentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Setelah itu KPK tersebut dibagi
                           dengan penyebut lalu kemudian dikalikan dengan pembilangnya.
   
                            Contoh
                                   Selesaikanlah    $\frac{7}{12}-\frac{5}{18}$ !
   
                                    Jawab
                                    
                                     faktorisasi $12 = 2^2 \times 3$
   
                                     faktorisasi $18 =  2 \times 3^2$
   
                                     KPK 12 dan $18 = 2^2 \times 3^2 = 36$
   
                                     maka  $\frac{7}{12}-\frac{5}{18}=\frac{(36:12)\times 7}{36}-\frac{(36:18)\times 5)}{36}=\frac{21}{36}=\frac{10}{36}=\frac{11}{36}$ 
   
                                                                                                               
                            
                    b.2. metode mengalikan penyebut
                           Metode ini dilakukan dengan aturan sebagai berikut:
   
                                             $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a \times d+b \times c}{b \times d}$  
   
                                              $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a \times d-b \times c}{b \times d}$    
   
                             contoh
                                   Selesaikanlah   $\frac{3}{5}+\frac{4}{7}$!
   
                                    jawab
                                                $\frac{3}{5}+\frac{4}{7}=\frac{3 \times 7+5 \times 4}{5 \times 7}=\frac{21+20}{35}=\frac{41}{35}$     
   
           c. Penjumlahan dan Pengurangan pecahan campuran
               untuk memahami penjumlahan dan pengurangan pecahan campuran, perhatikan contoh
               berikut:
   
                      *  Hitunglah  $2\frac{4}{5}+3\frac {6}{7}$ !
   
                          jawab
   
                           cara 1: mengubah ke bentuk pecahan biasa
                                $2\frac{4}{5}+3\frac {6}{7}=\frac {14}{5}+\frac{27}{7}=\frac{(14 \times 7)+(5 \times 27)}{5 \times 7}=\frac{98+135}{35}=\frac {233}{25}=6\frac{23}{35}$
    
   
                           cara 2: tanpa mengubah ke pecahan biasa
   
                                 $2\frac{4}{5}+3\frac {6}{7}=(2+3)+\frac{4}{5}+\frac{6}{7}= 5+\frac{(4 \times 7)+(5 \times 6}{5 \times 7}= 5+\frac {28+30}{35}=5+\frac{58}{35}=5+1\frac{23}{35}$
   
                                                  $=(5+1)+\frac{23}{35}=6+\frac{23}{35}=6\frac{23}{35}$ 
   
   
                        * Hitunglah $3\frac{1}{2}-1\frac{3}{4}$  !
   
                           jawab
   
                            cara 1: mengubah ke bentuk pecahan biasa
   
                                   $3\frac{1}{2}-1\frac{3}{4}=\frac{7}{2}-\frac{7}{4}=\frac{14}{4}-\frac{7}{4}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$ 
   
   
                            cara 2: tanpa mengubah ke pecahan biasa
   
                                      $3\frac{1}{2}-1\frac{3}{4}=(3-1)+(\frac{1}{2}-\frac{3}{4})=2+(\frac{2}{4}-\frac{3}{4})=2+-(\frac{1}{4})$
   
                                                       $=(2-\frac{1}{4})=\frac{2}{1}-\frac{1}{4}=\frac{8}{4}-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$
    
   
   

Operasi Perkalian
Operasi perkalian pada pecahan, perlu memperhatikan aturan sebagai berikut:
       
           a. Perkalian pecahan biasa
               perkalian pecahan biasa mengikuti rumus berikut ini

                                   $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d}$

                contoh

                   hitunglah     $\frac{9}{14} \times \frac{7}{12}$  !

                   jawab

                       $\frac{9}{14} \times \frac{7}{12}=\frac{9 \times 7}{14 \times 12}= \times \frac{63}{168}=\frac{63:21}{168:21}= \frac{3}{8}$ 

                  trik khusus

• Jika pada perkalian terdapat faktor pembagi antara penyebut dan pembilang, maka operasinya bisa segera disederhanakan.
  contoh: 

                                         

pada contoh tersebut nampak bahwa faktor pembagi 9 dan 12 adalah 3 dan faktor pembagi 14 dan 7 adalah 7. Dengan demikian, operasi perkaliannya dapat langsung disederhanakan.

           b. Perkalian Pecahan campuran

Pada operasi perkalian pecahan campuran, masing-masing pecahan harus diubah kedalam bentuk pecahan sederhanda terlebih dahulu. Contoh

 Hitunglah $1\frac{1}{2} \times 2\frac{3}{8}$! 

 Jawab 

 $1\frac {1}{2} \times 2\frac {3}{8}= \frac {3}{2} \times \frac {19}{8}=\frac {3 \times 19}{2\times 8}=\frac {57}{16}=3\frac {9}{16}$

 

Operasi pembagian

Aturan yang berlaku dalam operasi pembagian adalah sebagai berikut

a. Operasi pembagian pada pecahan biasa

   $ \frac {a}{b}:\frac{c}{d}=\frac {a}{b}\times \frac{d}{c}$ 

    contoh Hituglah  $ \frac {4}{6}:\frac{3}{7}$!

    jawab : 

                $ \frac {4}{6}:\frac{3}{7}=\frac {4}{6}\times \frac{7}{3}=\frac{4 \times 7}{6 \times 3}=\frac {28}{18}=\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}$

 

catatan: bilangan bulat merupakan bentuk dari pecahan biasa. Sebagai contoh: 2 =$\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=....$, 

perhatikan contoh berikut! 

• $2:\frac{3}{5}=\frac{2}{1}:\frac{4}{5}=\frac{2}{1}\times \frac{5}{4}=\frac{2\times5}{1 \times 4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$ 

 

• $\frac{3}{4}:7=\frac{3}{4}:\frac{7}{1}=\frac{3}{4}\times \frac{1}{7}=\frac{3 \times 1}{4\times 7}=\frac{3}{28}$ 

b. Operasi pembagian pada pecahan campuran

Sama seperti pada operasi perkalian, pada operasi pembagian, pecahan campuran harus diubah terlebih dahulu kedalam pecahan biasa.

Contoh hitunglah $2\frac{1}{4}:3\frac{1}{2}$!

jawab

 $2\frac{1}{4}:3\frac{1}{2}= \frac{9}{4}:\frac{7}{2}=\frac{9}{4}\times \frac{2}{7}=\frac{9 \times 2}{4 \times 7}=\frac{18}{28}=\frac{9}{14}$