latihan mid semester kelas X semester ganjil 2019

 Latihan Soal Mid Semester Kelas X SMA 2019

=========================================================================

1. Sederhanakanlah bentuk pangkat berikut ini
   a.  $3a^2\times 2a^2$
   b. $\displaystyle\frac{16x^2y^6z^5}{4x^3yz^8}$
   c./ $\displaystyle 32^{\frac{2}{5}}\times 25^{\frac{1}{2}}\times8^{\frac{2}{3}}$
   
   Jawab
   a.  $3a^2\times 2a^2 = (3\times 2){a^2\times a^2}=6a^4$
       
   b. $\displaystyle\frac{16x^2y^6z^5}{4x3yz^8}=\frac{(2^4).x^2.y^6.z^5}{2^2.x.^3y.z^8}=2^{(4-2)}x^{(2-3)}.y^{(6-1)}z^{(5-8)}=2^2.x.^{-1}y^5.x^{-3}=\frac{4y^5}{xz^3}$
   
   c. $\displaystyle 32^{\frac{2}{5}}\times 25^{\frac{1}{2}}\times8^{\frac{2}{3}}=(2^5)^{\frac{2}{5}}\times (5^2)^{\frac{1}{2}}\times(2^3)^{\frac{2}{3}}=2^{(5\times\frac{2}{5})}\times 5^{(2\times\frac{1}{2})}\times(2^{3\times\frac{2}{3})}$
                                     $=2^2\times 5\times2^2=4\times 5\times 4=80$ 
   
   
2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan  $25^{x+2}=5^{x+1}$
   
   Jawab
             $25^{x+2}=5^{x+1}$
   $\Leftrightarrow \mathbb{(5^2)^{(x+2)}=5^{(x+1)}}$
   $\Leftrightarrow \mathbb{5^{2(x+2)}=5^{(x+1)}}$
   $\Leftrightarrow \mathbb{2x+4=x+1}$
   $\Leftrightarrow \mathbb{2x-x=1-4} $ $\Leftrightarrow \mathbb{x=-3} $
   
   
   
3. Perkembangan suatu virus dinyatakan dengan model $f(n)=2^{n+2}$ dengan $f(n)$ adalah jumlah virus dalam n jam. Jika jumlah virus mencapai 64 virus, tentukan nilai n!
   
   jawab
   $\Leftrightarrow \mathbb {f(n)= 2^{n+2}=64}$
   $\Leftrightarrow \mathbb {2^n . 2^2=2^6}$
   $\Leftrightarrow \mathbb {2^n=\frac{2^6}{2^2}}$
   $\Leftrightarrow \mathbb {2^n =2^{6-2}} $
   $\Leftrightarrow \mathbb {2^n=2^4} $   $\Leftrightarrow \mathbb {n=4}$
   
   
4. Sedrhanakanlah bentutk dari
   a. $\sqrt{27}+\sqrt{12}-8\sqrt 3+\sqrt{75}=$
   b. $\sqrt{6}(\sqrt 2+\sqrt 3)$
   c. $\displaystyle \frac{2\sqrt5}{10}$
   d. $\displaystyle \frac{2}{\sqrt 3 - 1}$
   
   jawab
   
   a. $\sqrt{27}+\sqrt{12}-8\sqrt 3+\sqrt{75} $    $=\displaystyle \sqrt {3^2.3}+\sqrt {2^2.3}-8\sqrt {3}+\sqrt {5^2.3}$
                                                          $=\displaystyle 3\sqrt {3}+2\sqrt {3}-8\sqrt {3}+5\sqrt {3}$
                                                          $=\displaystyle (3+2-8+5).\sqrt {3} =2\sqrt 3$
   
   b. $3\sqrt{6}(\sqrt 2+\sqrt 3)$  $=\displaystyle \sqrt {3.2}(\sqrt 2+\sqrt 3)$
                                    $\displaystyle =\displaystyle \sqrt 3.\sqrt2 . (\sqrt 2+\sqrt 3)$
                                    $=\displaystyle \sqrt 3.\sqrt2 .\sqrt 2 + \sqrt 3.\sqrt2 . \sqrt 3$
                                    $=\displaystyle \sqrt 3. 2 + 3.\sqrt2 $
                                    $=\displaystyle  2\sqrt 3 + 3.\sqrt2 $
   
   c. $\displaystyle \frac{2\sqrt5}{10}=\frac{2\sqrt5}{2. \sqrt 5 . \sqrt5} =\frac{1}{\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5}\times \frac {\sqrt 5}{\sqrt5} =\frac {\sqrt 5}{5}$
   
   d. $\displaystyle \frac{2}{\sqrt 3 - 1}=\frac{2}{\sqrt 3 - 1}\times \frac{\sqrt 3 + 1}{\sqrt 3 + 1}=\frac{2(\sqrt 3 + 1)}{3 - 1}=\frac{2(\sqrt 3 + 1)}{2}=\sqrt 3 +1$
   
   
   
   
5. Hitunglah hasil dari bentuk logaritma berikut:
   a. log 25 + log 12 -log 3
   b. $^2$log 16 + $^3$log 27 - $^5$log 125
   
   Jawab
   a. log 25 + log 12 -log 3 = log $\displaystyle \frac{25.12}{3}$ = log 100  = 2
   
   b. $^2$log 16 + $^3$log 27 - $^5$log 125 =  $^2$log $2^2$ + $^3$log $3^3$ - $^5log$  $5^3$ 
   
                                                      =  2. $^2$log 2 +  3 . $^3$log 3 - 3 . $^5$log 5 
   
                                                      =  2. 1 +  3 . 1 - 3 . 1   =   2 
   
   
   
6. Diketahui  $^2$log 3 = a dan $^2$log 5 =b. Nyatakanlah bentuk $^3$log 45 ke dalam bentuk a dan b!
   
   Jawab
   $^3$log 45 =$^3$log ($3^2$ . 5) = $^3$log ($3^2$) + $^3$log 5  = 2. $^3$log 3 + $^3$log 5  = 2 . 1 +  $^3$log 5 = 2 +  $^3$log 5
   
   Sekarang perhatikan
   
   $^2$log 3 = $\displaystyle \frac{log 3}{log 2} = a   \Leftrightarrow \mathbb {log 2 = \frac {log 3}{a}}  $ ....... persamaan 1
   
   $^2$log 5 = $\displaystyle \frac{log 5}{log 2} = b   \Leftrightarrow \mathbb {log 2 = \frac{log 5}{2}}$    ....... persamaan 2
   
   dari persamaan 1 dan persamaan 2 diperoleh
   
          $\displaystyle \frac{log 5}{log 3}=\frac{b}{a} $      $\Leftrightarrow {^3}$log 5 = $\displaystyle \frac{b}{a}$
   
   
   
7. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut
   a.4x - 8 = 2(2x - 2)
   b.$\displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{x-2}{3}$
   
   jawab
   a.4x - 8    = 2(2x - 2)
      4(x - 2) = 2(2x - 2)
      2(x - 2) = 2x - 2
        x - 2    =   x -1     $\Leftrightarrow$ tidak ada x yang memenuhi persamaan tersebut
   
   b.$\displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{x-2}{3}$         $\Leftrightarrow 3(x-3=2(x-2))$
                                           $ \Leftrightarrow $  3(x-3) =  2(x-2)
                                           $ \Leftrightarrow $  3x - 9 =  2x-24
                                           $ \Leftrightarrow $  3x-2x = -24+9
                                           $ \Leftrightarrow $     x     = -15
   
   
8. Ibu membeli 5 butir telur bebek dan 4 butir telur ayam dengan membayar Rp. 25.000,- Jika harga sebutir telur bebek Rp. 500- lebih mahal daripada harga telur ayam, hitunglah harga sebutir telur bebek!
   
   Jawab
   misalkan A adalah jumlah telur ayam dan B adalah jumlah telur bebek. Maka persamaan yang dapat dibentun adalah
   
              $4A +5B = 25.000,00$
              $A = B - 500$
   
   Dengan mensubtitusi kedua persamaan tersebut diperoleh
                    $4A +5B = 25.000,00$
      $4(B-500) +5B = 25.000,00$
      $4B-2000) +5B = 25.000,00$
                          9B       = 27000
                            B       =      Rp. 3000
   
   
9. Tentukan himpunan penyelesaian dari 
   a. 6x > 12 + 2x
   b.$\displaystyle \frac{3x-5}{6}\leq \frac{x+2}{3}$ 
   
   jawab
   a.      6x    > 12 + 2x
       6x - 2x > 12
           4x    > 12
             x   > $\displaystyle \frac {12}{4}=3$
   
   jadi himpunan penyelesaiannya {x |x > 3. $x\epsilon \mathbb{R}$}
   
      
   b.         $\displaystyle \frac{3x-5}{6}$               $ \displaystyle\leq \frac{x+2}{3}$
   
      $\displaystyle \frac{3x-5}{6}-\frac{x+2}{3}$        $\leq  0$
   
      $\displaystyle \frac{(3x-5)-2(x+2)}{6}$   $\leq  0$
   
               $\displaystyle \frac{x-7}{6}$                   $\leq  0$
   
                   $\displaystyle    x $                        $\leq  7$
   
   

10.  Tentukan hasil nilai mutlak dari  $3x+1-|2x+4|\leq |x-5|$

    Jawab :
    
    Untuk 2x+4 = 0, maka x = -2      untuk x -5 = 0 maka x =5
    
    daerah yang akan diuji  x < -2    -2< x < 5   dan x > 5, sebagaimana nampak bada gambar berikut ini.
    
    
    
    
    
    
    
    untuk x <  -2
              $|2x+4| \rightarrow $   bernilai negatif maka gunakan $ -(2x+4)$
    
              $|x-5| \rightarrow $   bernilai negatif maka gunakan $\ -(x-5)$
    
                       $\Leftrightarrow 3x+1-(-(2x+4)) \leq (-(x-5))$
    
                       $\Leftrightarrow $     $3x+1+2x+4$      $ \leq -x+5$
    
    
                       $\Leftrightarrow $               $6x $                    $\leq $    10
    
                       $\Leftrightarrow $                $x $                    $\leq $    $\displaystyle \frac {10}{6 }=1\frac{2}{3}$
       
    Dengan demikian {x < -2} $\cap$  {$x \leq 1\frac{2}{3}$} = {x < -2}  ......penyelesaian 1
    
    

    

    
    
    
    untuk  -2 < x <  5
              $|2x+4| \rightarrow $   bernilai positif maka gunakan $ (2x+4)$
    
              $|x-5| \rightarrow $   bernilai negatif maka gunakan $\ -(x-5)$
    
                       $\Leftrightarrow 3x+1-(2x+4) \leq (-(x-5))$
    
                       $\Leftrightarrow $     $3x+1-2x-4$      $ \leq -x+5$
    

    
                       $\Leftrightarrow $               $2x $                    $\leq $    8
    
                       $\Leftrightarrow $                 $x $                    $\leq $   4

    
    Dengan demikian {-2 < x < 5} $\cap$  {$x \leq 4$} = {-2< x $\leq$ 4}  ......penyelesaian 2
    
    

    

    
    
    
    untuk x >  5
              $|2x+4| \rightarrow $   bernilai positiff maka gunakan $ -(2x+4)$
    
              $|x-5| \rightarrow $   bernilai positif maka gunakan $\ (x-5)$
    
                       $\Leftrightarrow 3x+1-(2x+4) \leq (x-5)$
    
                       $\Leftrightarrow $     $3x+1-2x-4$      $ \leq x-5$
    

    
                       $\Leftrightarrow $               -3                    $\leq $   - 5
    
                    $]Leftrightarrow$   pernyataan salah, dengan demikian tidak ada nilai  x > 5 yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
       

    Dari ketiga daerah yang diselidiki, maka {x < -2}  $\cup$ {-2< x $\leq$ 4} = {x <  4}

    
    
    

    

    
    

Latihan soal olimpiade 2 tingkat SMP

Latihan Soal OSN tingkat SMP 2019
================================================

1. Bentuk sederhana dari $\displaystyle \frac{x^2-x-20}{x^2-25}\times \frac{x^2-x-2}{x^2+2x-8}:\frac{x+1}{x^2+5x}$ adalah ...
   
   Jawab
   
   $\displaystyle \frac{x^2-x-20}{x^2-25}\times \frac{x^2-x-2}{x^2+2x-8}:\frac{x+1}{x^2+5x}=\frac{(x-5)(x+4)}{(x-5)(x+5)}\times \frac{(x-2)(x+1)}{(x+4)(x-2)}\times\frac{x(x+5)}{x+1}= x$ 
   
   
2. Simbol  $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = k$ berarti ad - bc = k. Jumlah semua nilai yang memenuhi $\begin{vmatrix} x-2 & -2 \\ -x & x+4 \end{vmatrix} = 2x$ adalah ...
   
   Jawab 
   
   dari soal diketahu $a = x-2$, $ b= -2, c = -x, d =x+4$ dan $k=2x$, maka 
   
   $ad-bc=k$     $ \Leftrightarrow$     (x-2) (x+4) - (-x) (-2) = 2x 
   
                             $\Leftrightarrow$    $(x-2)(x+4)+2x=2x $
   
                             $\Leftrightarrow$       $x_1=2$  atau    $x_2=-4$
   
   Maka $x_1+x_2=2$
   
   
   
3. Diketahui A dan B bilangan dua digit, C bilangan tiga digit dan A + B = C. Tujuh digit pembentuk bilangan itu yaitu 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 masing-masing digunakan tepat satu kkali. Digit satuan dari C adalah 6. Bilangan C yang dimaksud adalah ...
   
   Jawab
   Misalkan $A=10a+b$,  $B=10c+d$ sehingga $A+B = 10 (a+b)+(c+d)$
                   $C=100x +10y+6$
   
   Perhatikan beberapa hal berikut
   
   a. pilihan angka untuk c dan d adalah 2 dan 4
   dari pilihan angka yang ada, hanya 2 dan 4 yang jika dijumlahkan hasilnya 6, Dengan demikian angka yang dipilih untuk c dan d adalah 2 dan 4.
   
   b. $10 \leq a+b \leq 15 $
   Karena dipasangkan tepat 1 angka, maka untuk angka puluhan pada A dan B (yaitu a dan b) adalah 1, ,5, 6, 7, 8. Jika a dan b diambil dari angka yang tersisa, maka nilai maximum $a+b$ adalah 15. Tetapi  A dan B adalah bilangan 2 digit dan C adalah bilangan tiga digit. Artinya $10 \leq a+b \leq 16$ dan $x = 1$. 
   
   c. C=156 dan himpunan pilihan angka  (A,B) ={(72,84) , (74, 82), (84, 72) atau (82, 74)}
   Jika melihat pilihan angka terakhir, yaitu 5, 6, 7, 8, maka pilihan untuk a dan b adalah 7 dan 8. Sebab bila kedua angka itu dijumlahkan hasilnya 15. Angka 1 pada 15 akan digunakan untuk x . Sebaliknya, bila a dan b bukan angka 7 dan 8  (atau hanya mengambil salah satunya saja), maka akan menghasilkan nilai puluhan pada digit C yang sama dengan digit lainnya dari angka yang sudah dipilih atau menghasilkan angka yang tidak ada dalam pilihan. Misalnya 
   
            *)  5 + 7 =12     
                 hasil penjumlahannya menunjukan angka 2. Padahal angka ini sudah dipakai untuk c atau d
   
            *)  5 + 8 =13     
                 hasil penjumlahannya menunjukan angka 3 yang mana bukan angka yang disediakan
     
            *)  5 + 6 =11     
                 hasil penjumlahannya menunjukan ada dua angka 1. Padahal setiap angka hanya digunakan 1 kali
   
   jadi C = 156 
      
   
   
4. Sebuah balok memiliki panjang a cm, lebar b cm dan tinggi c cm dimana a, b, c adalah bilangan asli. Diketahui volume balok adalah 240 cm$^2$ dan $a+b+c = 19$ serta $a>b>c>3$. Luas semua sisi balok yang memiliki ukuran b dan c adalah ...
   
   jawab
   
   Perhatikan beberapa hal berikut:
   a. Karena $a+b+c =19$ maka $a,b,c<19$ sehingga $3<c<b<a<19$
   b. Faktor persekutuan dari 240 yang memenuhi kondisi $3<c<b<a<19$ adalah {4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16}
   

   c. Himpunan pasangan terurut (a,b,c) yang membentuk faktor persekutuan 240 berdasarkan pada pernyataan b adalah {(4,5,12), (5,6,8), (4,6,10)} 

   maka pilihan yang tepat untuk $a,b, c$ adalah a = 12, b =5 dan c = 4, sehingga luas permukaan balok yang memiliki ukuran b dan c adalah $2\times 4\times 5=40 $ cm$^2$
   
   

5. Vincent mempunyai sekotak permen. Ia membagikan sepertiganya kepada Theo dan kemudian seperempat dari sisanya kepada Thobi. Permen yang tersisa pada kotak sebanyak 24 permen. Banyaknya permen dalam kotak mula-mula adalah ....
   
   Jawab
   Misalkan p adalah jumlah permen yang terdapat didalam kotak, 
                   x adalah jumlah permen yang diterima Theo
                   y adalah jumlah permen yang diterima Thobi
    
   $\displaystyle x =\frac{1}{3}p$    dan     $\displaystyle y =\frac{1}{4} (p-x)$ 
   
   $p=x+y+24$
   
   $\displaystyle p = \frac{1}{3}p + \frac{1}{4} (p-x) +24$
   
   $\displaystyle p = \frac{1}{3}p + \frac{1}{4} (p-\frac{1}{3}p) +24$
   
   $\displaystyle p = \frac{1}{3}p + \frac{1}{4} (\frac{2}{3}p) +24$
   
   $\displaystyle p = \frac{2+1}{6}p +24$
   
   $\displaystyle p = \frac{1}{2}p +24$   $\Leftrightarrow$    $2p=p+48$
   
                             $\Leftrightarrow$     $p=48$
   
   jadi permen yang terdapat di dalam kotak = 48
   
   
   
6. Persamaan garis lurus melalui titik potong $x -3y + 7 = 0$ dengan garis $3x + 2y -1 = 0$ serta tegak lurus dengan garis $x + 2y -3 = 0 $ adalah ...
   
   Jawab 
   
        $x -3y + 7 = 0$          kalikan 3      $\Leftrightarrow$     $3x-3y+7=0$
       $3x + 2y -1 = 0$         kalikan 1      $\Leftrightarrow$     $\underline{3x-2y+1=0}$ -
                                                                 $\Leftrightarrow$              $-y+6=0$
                                                                 $\Leftrightarrow$                   $y=6$
        $x -3y + 7 = 0$ 
        $x -3.6 + 7 = 0$    $\Leftrightarrow$    $x=12$
   
   Jadi titik potongnya adalah (12, 6)
   
   Misalkan g adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan garis  $h=x + 2y -3 = 0 $ dan $m_g$ serta $m_h$ masing-masing adalah gradien garis g dan h.
   
   Pada persamaan garis h, diperoleh $m_h =-2$.  Karena g dan h saling tegak lurus,, maka $\displaystyle m_g =-\frac{1}{m_h} =-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$
   
   Persamaan garis g yang melalui (12, 6) dan ber-gradien $\displaystyle m_g =\frac{1}{2}$ adalah
   
                 $y-y_1=m_g(x-x1)$
                   $\displaystyle y-6=\frac{1}{2}(x-12)$
   
          $\Leftrightarrow$ $ 2y -12=x-12$
          $\Leftrightarrow$          $2y =x$
   
   
   
7. Diketahui 
   
        S ={$x| 1\leq x \leq 30$}
   
        A = {$ x|x $ merupakan bilangan kelipatan 4}
   
        B = {$ x|x$ merupakan bilangan kelipatan 3}
   
        C = {$ x|x$ merupakan bilangan kelipatan 12}
   
    Maka $n(A \cap B$ ') $\cup$ C ) = ....
   
   Jawab
   
         $(A \cap B$ ') $\cup$ C ) = A
   
         A = {4, 8,12, 16, 20, 24, 28}
   
          $nA=7$
   
   
8. Misalkan $(x, y)$ adalah koordinat titik yang memenuhi persamaan $(4-x^2)+(y-3)^2 = 25$. Misalkan pula $(a, b)$ membuat $x^2+y^2$ bernilai minimum dan $(c, d)$ membuat $x^2+y^2$. Maka nilai $ac+bd$ adalah ...
   
   jawab
    Untuk setiap $x \epsilon \mathbb{R}$ dan $y \epsilon \mathbb{R}$ akan membuat persamaan $x^2+y^2 \geq 0$. Dengan demimikian nilai minimum $x^2+y^2$ terjadi bila $x =0$ dan $y=0$. dengan demikian $(a, b)$ yang membuat $x^2+y^2$ bernilai minimum adalah $a= 0$ dan $b =0$. Akibatnya $ ac+bd $ = 0
   
   
9. Jika $f(x)=x^4+x^3+6x^2+4x + 10$, maka nilai $f(\sqrt5-1) = ...$
   
   Jawab
                        Kaidah Segitiga Pascal
   
                         1                          $x^0$
                     1      1                      $x-1$
                  1     2     1                   $(x+1)^2 = x^2$+2$x+1$
               1    3      3     1               $(x+1)^3 = x^3$+3$x^2$+3$x+1$
            1    4     6     4      1           $(x+1)^4 = x^4$+4$x^3$+6$x^2$+4$x+1$
   
   
   Berdasarkan kaidah paskal. maka
   
   $f(x)=x^4+x^3+6x^2+4x + 10=x^4+x^3+6x^2+4x + 1+9$
   
                            $\Leftrightarrow$                            $=(x+1)^4+9$
   
   $f(x)=(x+1)^4+9$
   
   dengan demikian
   
    $f(\sqrt5-1) =((\sqrt5-1)+1)^4+9 =(\sqrt5)^4+9=25+9 = 34$
   
   


10. Luas persegi maksimum yang dapat dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku dengan alas dan tinggnya masing-masing 3 cm dan 4 cm adalah ...
    
    Jawab
    
    
    
    Dengan menggunakan sifat perbandingan pada segitiga, diperoleh
    
          $\displaystyle \frac{BC}{AB}=\frac{ED}{AE}$
    
    $\Leftrightarrow$      $\displaystyle\frac{3}{4}=\frac{x}{4-x}$   
    
    $\Leftrightarrow$      $ 3(4-x)= 4x$
    
    $\Leftrightarrow$      $12-3x=4x$   $\Leftrightarrow$   $\displaystyle x=\frac{12}{7}$
    
    Sehingga luas maksimumnya adalah   $\displaystyle x=\frac{12}{7}\times \frac{12}{7}=\frac{144}{49}$ cm$^2$
    

latihan soal Matematika SMA: persiapan menghadapi UN dan SBMPTN

 Latihan Soal Matematika SMA
Persiapan menghadapi UN dan SBMPTN

================================================================ 

1. Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm, titik P berada pada pertengahan AB dan titik sudut Q berada pada pertengahan HD. Tangen sudut antara PQ dan BDHF adalah ...
   
   
   jawab
   
   
   

   
   

   $PR=\sqrt{PB^2+BR^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
   
   $PT=\displaystyle \frac{1}{2}PR=\sqrt2$
   
   $DB=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
   
   $DT=\displaystyle \frac{3}{4}DB=3\sqrt2$
   
   $QT=\sqrt{QD^2+DT^2}=\sqrt{2^2+(3\sqrt2)^2}=\sqrt{4+18}=\sqrt{22}$
   
   tan $\alpha=\displaystyle \frac{PT}{QT}=\frac{\sqrt 2}{\sqrt22}=\frac{\sqrt 11}{11}$ 
   
   
   
   
2. Banyaknya bilangan bulat yang memenuhi persamaan $(2x-5)^{x^2-4x+1}=(x-4)^{x^2-4x+1}$ adalah ...
   
   
   Jawab
   
   
   untuk $a^p=1  \Leftrightarrow p=0$
   
   
   maka $x^2-4x+1=0   \Leftrightarrow  \displaystyle x_{1,2}=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4.1.(-1)}}{2.1}=\frac{16\pm\sqrt20}{2}$
   
   
                                          $   \Leftrightarrow x_{1,2}$ bukan bilangan bulat
   
   
   Untuk $a^p=b^q   \Leftrightarrow a=b$
   
   
   maka $2x-5=x-4    \Leftrightarrow x=1$  $   \Leftrightarrow x$  bilangan bulat
   
   
   Jadi solusi banyaknya bilangan bulat yang memenuhi persamaan tersebut adalah 1 bilangan yakni $x-1$
   
   
   
   
3. Turunan pertama dari $y=\sqrt{(1-sin x+sin^2x-sin^3 x+sin^4x+....)^3}$ adalah ....
   
   
   jawab
   
   
   $S=1-sin x+sin^2x-sin^3 x+sin^4x+....$
   
   
       $=(1+sin^2x+sin^4x+....)-(sin x+sin^3x+sin^5 +....)$
   
   
   Misalkan $ r=sin^2x $   untuk   $ -1\leq sin x\leq 1$
   
   
        $S_{\infty}=a+ar+ar^2+ar^3+...=\displaystyle \frac{a}{1-r}$ 
   
   
   
   
   $S_{\infty}  \left\{\begin{matrix}  \displaystyle =  (1+sin^2x+sin^4x+....)=\frac{1}{1-sin^2x}\\ \\ = \displaystyle  (sin^x+sin^3x+sin+....)=\frac{sin x}{1-sin^2x}\end{matrix}\right.$
   
   
   
   
   $S=(1+sin^2x+sin^4x+....)-(sin x+sin^3x+sin^5 +....)$
   
   
        =             $\displaystyle \frac{1}{1-sin^2x}$                $- $         $\displaystyle \frac{sin x}{1-sin^2x}$
   
   
        =             $\displaystyle \frac{1 - sin x}{(1-sinx)(1+sinx)}$               
   
   
        =             $\displaystyle   \frac{1}{1+sinx}$
   
   
   Maka $\displaystyle y=\sqrt{\left (  \frac{1}{1+sinx} \right )^3}$
   
   
   misalkan $\displaystyle u=\frac{1}{1+sin x}$   dan       $\displaystyle y=\sqrt {u^3}= (u)^{\frac{3}{2}} $
   
   
   $\displaystyle u'=\frac{du}{dx}=\frac{0-cos x .1}{(1+sin x)^2}=-\frac{cos x}{(1+sin x)^2}$          dan        $\displaystyle y'=\frac{dy}{du}=\frac{3}{2} (u)^{\frac{1}{2}} =\frac{3}{2} \left (\frac{1}{1+sin x}\right)^{\frac{1}{2}}$
   
   
   dengan demikian
   
   
   $\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\times \frac{dy}{dx}=\left (-\frac{cos x}{(1+sin x)^2}\right) . \left (\frac{3}{2} \left (\frac{1}{1+sin x}\right )^{\frac{1}{2}} \right)=-\frac{3}{2}. \frac{cos x}{\left ( 1+sin x\right )^{\frac{5}{2}}} $
   
   
   
   
4. 3 log x = 3 + log y dan $^2$log xy  $=^2$log $\displaystyle \left (\frac {x}{y}\right) +3$, maka $x+y = ...$
   
   
   jawab
   
   
               $^2$log xy        $=$   $^2$log $\displaystyle \left (\frac {x}{y}\right) +3$
   
   
   $\Leftrightarrow$  $^2$log x + $^2$log y  $=$  $^2$log x $-^2$log y + 3
   
   
   $\Leftrightarrow$            2 . $^2$log y  $=$       3
   
   
   
   
   $\Leftrightarrow$             . $^2$log y    $=$    $\displaystyle \frac{3}{2}$
   
   
   $\Leftrightarrow$             . y    $=$    $\displaystyle 2^{\frac{3}{2}}$
   
   
   
   
              3 log x = 3 + log y
   
   
   
   
   $\Leftrightarrow$        log $x^3 - $ log $y =3$
   
   
   $\Leftrightarrow$             log $\displaystyle \frac{x^3}{y}$       $=$  log $10^3$
   
   
   $\Leftrightarrow$                  $x^3$          $=$  $10^3y$
   
   
   $\Leftrightarrow$                  $x$          $=$  $(10^3y)^{\frac{1}{3}}$
   
   
   $\Leftrightarrow$                  $x$            $=$ $\displaystyle (10. 2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}$
   
   
   $\Leftrightarrow$                  $x$            $=$ $\displaystyle 10. 2^{\frac{1}{2}}$
   
   
   
   
   
   
   Dengan demikian $\displaystyle x+y= 10 . 2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{3}{2}} $
   
   
   
   
5. Pada tahun 2019 Andi membe;i sebuah kipas angin dan 2 buah TV dengan total harga Rp. 6.000.000,- Sementara Cika membeli 2 buah kipas angin dan 1 buah TV dengan total harga Rp. 4.500.000,- Nina membeli 1 buah kipas angin dan 1 buah TV dan mejualnya  pada tahun 2020. Jika harga kipas angin dan TV berturut-turut turun secara eksponensial pertahun sebesar 20% dan 10%, maka uang yang akan diterima Nina dan hasil penjualan barangnya adalah ...
   
   jawab
   Misalkan x adalah jumlah kipas dan y adalah jumlah TV.
   
       $x + 2y = 6.000.000$       kalikan 1        $x + 2y = 6.000.000$  
       $2x + y = 4.500.000$       kalikan 2       $\underline {4x + 2y =9.000.000-}$
                                             $\Leftrightarrow$                              $3x=3.000.000$
                                             $\Leftrightarrow$                                $x=1.000.000$
    
   Subtitusi nilai x ke salah satu persamaan maka akan menghasilkan y = 2.500.000
   
   Maka uang yang diterima Nina setelah penyusutan adalah
    (1-20% ) x + (1-10%) y $\displaystyle = \frac{80}{100}.1.000.000 + \frac{90}{100}. 2.500.000=800.000+2.250.000= Rp. 3.050.000$
   
   
   
   
    
6. Diketahui A $=\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end {pmatrix}$ dengan $|a|\neq|b|$ dan B  $=\displaystyle \begin{pmatrix} y & y+6 \\ y-1 & 2y \end {pmatrix}$. dengan y adalah suatu bilangan bulat genap. Jika AB adalah matriks singular, maka nilai y adalah ....
   
   jawab:
   
   Matriks singular adalah matriks yang tidak memiliki invers. Jika X adalah matriks yang tidak memiliki invers, maka Det(X) = 0.
   
            AB $=\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end {pmatrix}$  $ \begin{pmatrix} y & y+6 \\ y-1 & 2y \end {pmatrix}$
   
           $\Leftrightarrow$  $=\displaystyle \begin{pmatrix} ay + b(y-1) & a(y+6)+2by \\by+a(y-1) & b(y+6)+2ay \end {pmatrix}$
   
    Det(AB) = $(ay+b(y-1))(b(y+6)+2ay)-(by+a(y-1))(a(y+6)+2by)=0$
   
   perhatikan proses perhitungannya seperti dicatat dibawah ini
   
                  $\Leftrightarrow$   $(ay+b(y-1))(b(y+6)+2ay)$   $\Leftrightarrow$   $ay(b(y+6)+2ay)+b(y-1)(b(y+6)+2ay)$
   
                  $\Leftrightarrow$    $(by+a(y-1))(a(y+6)+2by)$  $\Leftrightarrow$   $by(a(y+6)+2by)+a(y-1)(a(y+6)+2by)$
   
   
                                                                     $\Leftrightarrow$      $aby(y+6) +2a^2y^2+b^2(y^2+5y-6)+2aby(y-1)$
   
                                                                     $\Leftrightarrow$      $\underline {aby(y+6)+2b^2y^2+a^2(y^2+5y-6)+2aby(y-1)}-$
   
                                                                                  0 + $(a^2-b^2)y^2-5(a^2-b^2)y-6(a^2-b^2)$  +  0     =    0
   
   
   Dengan demikian Det (AB) = 0   $\Leftrightarrow$    $(a^2-b^2)y^2-5(a^2-b^2)y-6(a^2-b^2) =0$ 
                                                         $\Leftrightarrow$    $(a^2-b^2)(y^2-5y-6)=0$ 
                                                         $\Leftrightarrow$    $(a^2-b^2)(y-6)(y+1)=0$ 
                                                         $\Leftrightarrow$    $(y=6)$ atau $(y=-1)$ 
   
   karena pada soal y adalah bilangan bulat genap, maka  y = 6 
   
   
   
   
7. Diketahui matriks A= $\begin {pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end {pmatrix}$. Tentukan $A^2(A^5-1)$
   
   jawab:
   
   $A^2=$ $\begin {pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end {pmatrix}$ $\times$ $\begin {pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end {pmatrix}$ $=\begin {pmatrix} 0.0+-2-2 & -2.0+0.-2 \\ 0.-2+-2.0 & -2.-2+0.0 \end {pmatrix}$. $=\begin {pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end {pmatrix}$. 
   
   $A^4=(A^2)^2$ $=\begin {pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end {pmatrix}\times $ $\begin {pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end {pmatrix}$. $=\begin {pmatrix} 4/4+0.0 & 4.0+0.4 \\ 0.4+4.0 & 0.0+4.4 \end {pmatrix}$. $=\begin {pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end {pmatrix}$. 
   
   $A^5=A^4\times A $ $=\begin {pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end {pmatrix}\times$  $\begin {pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end {pmatrix}$ $=\begin {pmatrix} 16/0+0.-2 & 16.-2+0.0 \\ 0.0+16.-2 & 16.-2+0.0 \end {pmatrix}$. $=\begin {pmatrix} 0 & -32 \\ -32 & 0 \end {pmatrix}$. 
   
   
   

   $A^2(A^5-1)=$ $\begin {pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end {pmatrix} \left ( \begin {pmatrix} 0 & -32 \\ -32 & 0 \end {pmatrix}  - \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {pmatrix}   \right )$   $=\begin {pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end {pmatrix}\times$ $\begin {pmatrix} -1 & -32 \\ -32 & -1 \end {pmatrix}$
   
    $=\begin {pmatrix} 4.-1+0.-32 & 4.-32+0.-1 \\ 0.-1+4.-32 & 0.-32+4.-1 \end {pmatrix}$. $=\begin {pmatrix} -4 & -128 \\ -128 & -4 \end {pmatrix}$. 
   
   
   
   
8. Diketahui segitiga ABC sama sisi dengan panjang sisi 10 cm. Titik D berada pada garis AB sedemikian sehingga AD:DB = 2:3. Titik F berada pada garis AC sehingga AF = FC. Apabila E berada pada garis BC sedemikian sehingga AE melalui titik potong garis CD dan BF tentukan panjang garis AE!
   
   Jawab
   

   
   
   

      Berdasarkan teorema Steward:
   
              $AE^2.BC=CE.AB^2+BE.AC^2-CE,BE,BC$
   
       $\Rightarrow$    $AE^2.10=4.10^2+6.10^2-4.6.10$
   
       $\Rightarrow$    $AE^2.10=760$
   
       $\Rightarrow$    $AE.10=\sqrt 76=2\sqrt 19$
   

   
   

    
9. Diketahui suatu titik $P(x_p,y_p)$ adalah titik puncak parabola $\displaystyle y=\frac {1}{2}x^2+x+c$. Diketahui garis $y=x+6$ memotong grafik fungsi kuadrat salah satunya pada absis $x=-4$. Luas daerah yang dibentuk oleh parabola dan garis tersebut yang dibatasi oleh garis $x=x_p$ dan sumbu Y adalah ...
   
   jawab
   
   Karena titik potong garis $y=x+6$ dan kurva $\displaystyle y=\frac {1}{2}x^2+x+c$ adalah titik yang berabsis x= -4, maka
   
                $\displaystyle \frac {1}{2}x^2+x+c = x+6$.
   
                        $\Leftrightarrow$   $\displaystyle c = 6-\frac{1}{2}x^2$   
   
                        $\Leftrightarrow$   $\displaystyle c = 6-\frac{1}{2}(-4)^2=-2$   
   
   Maka persamaan grafiknya menjadi   $y=\displaystyle \frac {1}{2}x^2+x-2$ .
   
   titik puncak $y=\displaystyle \frac {1}{2}x^2+x-2$ adalah 
   
            $\displaystyle x_p=-\frac {b}{2a}=-\frac{1}{2.\frac{1}{2.}}=-1$
   
            $y_p=\displaystyle \frac {1}{2}(-1)^2+(-1)-2=-\frac{5}{2}$ .
   
   
   Luas daerah parabole  yang dibatasi oleh sumbu y dan garis $y=x+6$ yang dibatasi $x_p=-1$ adalah 
   
   

   

   
   
   
   $\displaystyle \int_{-1}^{0}(x+6)- \left (  \frac{1}{2}x^2+x-2  \right  ) dx=\int_{-1}^{0}- \frac{1}{2}+8 dx= \left (  -\frac{1}{2}.\frac{1}{3}x^3+8x  \right )_{-1}^{0} =-\frac{1}{6}(-1)^3+8.(-1)=-7\frac {5}{6}$
   
   dengan demikian luas daerahnya adalah $\displaystyle 7\frac{5}{6}$