Soal barisan dan deret

1. Diketahui 3 bilangan membentuk barisan aritmatika. Jumlah ketiga barisan tersebut adalah 45. Jika suku pertama dikurangi 1 dan suku ketiga ditambah 5 maka membentuk barisan geometri dengan rasio r. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan geometrinya.
   
   Jawab
   U1, U2, U3  membentuk barisan aritmatika
          U1 +      U2    +     U3      = 45
           a   + (a + b)  + (a + 2b)  = 45
                           3a  + 3b           = 45
                             a  +  b            = 15 
   
   3 barisan tersebut akan membentuk barisan geometri bila:
      (a - 1) : (a + b) = (a + b) : (a + 2b + 5)
      (a - 1) :     15    =      15    : (15 + b + 5)
      (a - 1) :     15    =      15    :     (20 + b )
      (a - 1) :     15    =      15    : (20 + 15 - a )
      (a - 1) :     15    =      15    :     (35 - a )
      (a - 1) (35 - a ) = 225
      $-a^2+36a-35 =225$
       $a^2+36a+260 =0$
      
    berakibat a = 10 dan  atau a = 26 dan b = -11
   
   *  untuk a =  10  berakibat b = 5
   
        barisan aritmatika
            U1 = a = 10, U2 = a + b = 15, U3 = a + 2b = 10 +2.5 = 20
   
        barisan geometri yang baru adalah
            U1 =  a - 1 = 9, U2 = a + b = 15, U3 = a + 2b + 5 = 20 + 5 = 25
   
        Jumlah 5 barisan pertama geometri
   
              $r = \frac{u_2}{u_1}=\frac{15}{9} =\frac{5}{3}$
   
              $S_5 =\frac {a(r^5 - 1)}{r - 1} = \frac {9({5/3}^5 - 1)}{(5/3 - 1}= \frac {9(\frac {3125}{243} - 1)}{2/3}=  \frac {9(\frac {2882}{243})}{2/3}= \frac {1441}{9}=160 \frac{1}{9}$
   
           
    * untuk a =  26  berakibat b = -11
   
       barisan aritmatika
             U1 = a = 26, U2 = a + b = 15, U3 = a + 2b = 26 +2.(-11) = 4
   
       barisan geometri yang baru adalah
             U1 =  a - 1 = 25, U2 = a + b = 15, U3 = a + 2b + 5 = 4 + 5 = 9
   
       Jumlah 5 barisan pertama geometri
              $r=\frac{u_2}{u_1}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$
   
    
              $S_5 =\frac {a(r^5 - 1)}{r - 1} = \frac {25({3/5}^5 - 1)}{(3/5 - 1}= \frac {25(\frac {243}{3125} - 1)}{-2/5}=  \frac {25(-\frac {2882}{3125})}{-2/5}= \frac {1441}{25}=57 \frac{16}{35}$
   
       
                   
   
2. Sebuah tali dipotong menjadi lima bagian yang mana setiap potong mempunyai panjang tertentu dan membentuk barisan geometri. Jika potongan ke-1  panjangnya 2 m dan potongan terakhir 512 m. tentukan panjang tali mula-mula.
   
   Jawab:
   a = 2,  $u_5 = 512$
   
   $u_n = ar^{n-1}$
   $u_5 = 2 . r^{5-1}$
   512 = $2r^4$
   $r=\sqrt [4]{256}=\pm 4$      pilih r = 4
   
   
   maka panjang tali mula-mula
   $S_5=\frac{a(r^5-1)}{r-1}=\frac{2(4^5-1)}{4-1}=\frac{2(1024-1)}{3}=\frac{2 \times 1023}{3}=\frac{2069}{3}= 682$
   
   
   
3. Berapa jumlah bilangan yang habis dibagi 3 dari 1 - 100 dan tidak habis dibagi 5?
   
   jawab
   bilangan 1 - 100 yang habis dibagi 3
         3, 6, 9, 12, ... , 99   berakibat a = 3 dan b = 3
      
         $u_n= a + (n-1) b$
         99  =  3  + (n - 1) 3
         99  =  3  + 3n - 3
         99  = 3n               berakibat         n  = 33
    
             $S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$
   
            $S_{33} = \frac{33}{2}(3 + 99)=\frac{33}{2}(102)=1683$
   
   bilangan antara 1-100 yang habis dibagi 15
         15, 30, 45, 60, ... , 90    berakibat a = 15 dan b = 15
   
         $u_n= a + (n-1) b$ 
         90  =  15  + (n - 1) 15
         90  =  15  + 15n - 15
         90  = 15n               berakibat         n  = 6 
   
        $S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$
   
            $S_{6} = \frac{6}{2}(15 + 90)=\frac{6}{2}(105)=315$
     
   
      jadi jumlah bilangan antara 1 - 100 yang habis dibagi 3 dan tidak habis dibagi 5 adalah
               1683 - 315 =  1368
   
   
4. Suatu bakteri membelah menjadi 2 setiap 15 detik. Jika mula-mula terdapat 12 bakteri, tentukan jumlah bakteri setelah 2 jam 30 menit 10 detik!
   
    waktu                  0 dtk       15 dtk     30 dtk      45 dtk        ...
    periode ke-n         0               1              2             3             ...
    jumlah bakteri     12             24           48            96            ...
   
   dalam 2 jam 30 menit 10 detik = 2 . 60 . 60 + 30 . 60 + 10 = 7390 dtk
   ada dalam periode
   
             $S_n=\frac{7390}{15}=142 \frac{2}{3} \approx 142 $
   
   jadi jumlah bakteri =
   
            $u_n= a.r^{n-1} $         
          
            $u_{142} = 24 \times 2^{142-1}= 24 \times 2^{141 }=3 \times 2^3 \times 2^{141} = 3 \times 2^{144}$
   
           
5. Terdapat sejumlah bakteri di suatu tempat. Jika suatu obat bisa membunuh 50 bakteri setiap 2 menit, tentukan banyak bakteri mula-mula jika pada 1 jam pertama tersisa 250 bakteri?
   
   jawab
    waktu                  0 mnt       2 mnt         4 mnt                6 mnt             ...     60 mnt
    periode ke-n         0                1                 2                       3                 ...       n
    jumlah bakteri      x             x - 50    (x - 50) - 50    ((x - 50) - 50)        ...      250
   
   dengan demikian a = x, b = -50  dan $u_{n+1}=250$
     
   dalam 1 jam :
   
              $n=\frac{60}{2}=30$
   
   maka jumlah bakteri mula-mula
   
            $u_{n+1}= a + ((n+1) - 1)b$
   
                 250    =  x + 30 (-50)
                 250    = x + 4500
                 x    = 4250 bakteri
   
   
6. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 3 m dan memantul kembali 5/8 tinggi mula-mula. Tentukan jarak yang ditempuh bola sampai berhenti!
   
   jawab
   
   
   
        $S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$
   
   Barisan turun
   
        $u_1=3m,  u_2 = \frac {15}{8}m, u_3 =\frac {75}{64}, ..., 0$
   
        $S_{\infty}= \frac{a}{1-r}$       =>    $S_{turun} = \frac {3}{1-5/8}=8 m$
   
   
   Barisan naik
   
   
        $u_1=15 m,  u_2 = \frac {75}{64}m, u_3 =\frac {375}{512}, ..., 0$
   
        $S_{\infty}= \frac{a}{1-r}$       =>    $S_{naik} = \frac {5/8}{1-5/8}=\frac{5}{3} m$
   
   maka total lintasan  $8+\frac {5}{3} = 9 \frac {2}{3}$