jawab
misalkan f(x)=$ ax+b-\sqrt x$ dan g(x) = x - 4
untuk x = 4, bila $\frac{f(4)}{g(4)}=\frac{0}{0}$, maka
$ 4x+b-\sqrt 4$ = 0 => 4a +b -2 = 0 ............................persamaan 1
dengan menggunakan dalil D'Hospital maka
$\lim_{x\to 4}\frac{ax+b-\sqrt x}{x-4}$ = $\lim_{x\to 4}(a-\frac{1}{2 . \sqrt x})$=$\lim_{x\to 4}(a-\frac{1}{2 . \sqrt 4})$
$\frac{3}{4}$ = $\lim_{x\to 4}(a-\frac{1}{4})$
<=> a = $\frac{3}{4}+\frac {1}{4} = 1$ .................................................. persamaan 2
dengan mensubtitusikan nilai a ke persamaan 1, diperoleh b = -2
dengan demikian:c a + b = 1 + (-2) = -1
2. Luas daerah di antara kurva y = 2a + 1 dan kurva
Jawab:
Daerah yang dibatasi kurva y = 2a + 1 dan y = $x^2 + 2a $ ditunjukan sebagai berikut:
dengan demikian luas daerah yang dibatasi kurva y = $x^2 + 2a $ adalah
$\int_{-1}^{1}[(2a+1)-(x^2+2a)]dx$ = $\int_{-1}^{1}[(1-x^2)]dx$
= [x -$\frac{1}{3}x^3]_{-1}^{1}$ = $(1 -(-1)-(\frac{1^3}{3}-(\frac{(-1)^3}{3})) $
= 2 - ($\frac{1}{3}+\frac{1}{3})=1\frac{1}{3}$
3.Diketahui fungsi f(x)=f(x +2) untuk setiap x. Jika $\int_{0}^{2}f(x)dx=B$ maka $int_{3}^{7}f(x+8)dx=...$
jawab
misalkan $\int_{0}^{1}f(x)dx=A$ .........................................persamaan 1
maka $\int_{0}^{2}f(x)dxB$ = $\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{1}^{2}f(x)dx$
B = A + $\int_{1}^{2}f(x)dx$
<=> $\int_{1}^{2}f(x)dx$ = B - A ........................................................persamaan 2
Sekarang perhatikan polanya.
misalkan m = x + 2,
karena f (x) = f (x+2) <=> f (x) = f (m) = f (m+2) = f ((x+2)+2) = f (x+4)
Bila pola ini berlanjut <=> f (x) = f (x+2) = f (x+4) = f ((x+6)) = f (x+8) = ... .........persamaan 3
dengan demikian , dari persamaan 3 diperoleh
$\int_{3}^{7}f(x+8) dx = \int_{3}^{4}f(x+8) dx + \int_{4}^{6}f(x+8) dx + \int_{6}^{7}f(x+8) dx $
<=> $\int_{3}^{7}f(x) dx = \int_{3}^{4}f(x) dx + \int_{4}^{6}f(x) dx + \int_{6}^{7}f(x) dx $
Sekarang, akan ditentukan nilai masing-masing dari $ \int_{3}^{4}f(x) dx $, $ \int_{4}^{6}f(x) dx $ dan $ \int_{6}^{7}f(x) dx $
- misalkan x = u + 2 dan du = dx
bila x = 3 maka u = 1
x = 4 maka u = 2
dari persamaan 2 dan persamaan 3, maka diperoleh:
$ \int_{3}^{4}f(x) dx $ = $ \int_{1}^{2}f(u) du $ = $ \int_{1}^{2}f(x) dx $ = B - A
- misalkan x = u + 4 dan du = dx
bila x = 4 maka u = 0
x = 6 maka u = 2
dari soal dan persamaan 3, maka diperoleh:
$ \int_{4}^{6}f(x) dx $ = $ \int_{0}^{2}f(u) du $ = $ \int_{0}^{2}f(x) dx $ = B
- misalkan x = u + 6 dan du = dx
bila x = 7 maka u = 1
x = 6 maka u = 0
dari persamaan 1 dan persamaan 3, maka diperoleh:
$ \int_{6}^{7}f(x) dx $ = $ \int_{0}^{1}f(u) du $ = $ \int_{0}^{1}f(x) dx $ = A
Sehingga didapatkan
$\int_{3}^{7}f(x) dx = \int_{3}^{4}f(x) dx + \int_{4}^{6}f(x) dx + \int_{6}^{7}f(x) dx $<=> = (B - A) + B + A
<=> = 2 B
4. Misalkan daerah D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, garis y = 4 dan y = $x^2 $. Jika garis y = k membagi 2 daerah D sama besar maka $k^3$ = ...
jawab misalkan daerah D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu D
maka luas daerah yang dibatasi oleh sumu Y, garis y = 4 dan y =$x^2$ adalah
$\int_{0}{2}(4-x^2)dx$ = $[4x-\frac{1}{3}x^3]_{0}^{2} $= $[\frac{1}{3}2^3-\frac{1}{3}2^3]_{0}^{2} $
= 8 - $\frac{8}{3} = \frac{16}{3}$
garis y = k membagi luas daerah D, maka interval 0 < k < 4 adalah batas daerah di wilayah antara y = k, sumbu Y dan y = x$^2$ . Dengan demikian
Luas daerahnya =$\int_{0}{k} \sqrt{y} $ dy
<=> $\frac {8}{3} $ = $\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}]_{0}^{k} $
<=> $\frac {8}{3} $ = $\frac{2}{3}k^{\frac{3}{2}} $
<=> 4 = $k^{\frac{3}{2}} $
<=> $k^3 $ = 16
5. Diketahui f(x) = $x^k$ dan g(x) =x. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva g, sumbu X dan x = 1. Kurva f membagi daerah D menjadi dua daerah D1dan D2 dengan perbandingan luas 1 : 2 . Jika D1 adalah daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g, maka k = ...
jawab: gambar berikut menunjukan kurva yang dibatasi oleh kurva g, sumbu X dan x =1
perhatikan titik potong kurva y = x dan f(x) = $x^k$ terletak pada (0,0), (1,1) dan f(x) membagi D bila k > 0
dengan demikiaan
$\int_{0}^{1}(x-x^k) dx : \int_{0}^{1}(x^k) dx = 1:2 $
<=> 2 . $\int_{0}^{1}(x-x^k) dx = \int_{0}^{1}(x^k) dx $
<=> 2 . $\int_{0}^{1}(x) dx - 2 \int_{0}^{1}(x^k) dx = \int_{0}^{1}(x^k) dx $
<=> 2 . $\int_{0}^{1}(x) dx = 3 \int_{0}^{1}(x^k) dx $
<=> $\int_{0}^{1}(x) dx = \frac{3}{2} \int_{0}^{1}(x^k) dx $
<=> $\frac{1}{2}x^2]_{0}^{1} = \frac{3}{2}\frac{1}{k+1}x^{k+1}]_{0}^{1} $
<=> $(\frac{1}{2}1^2) = \frac{3}{2}\frac{1}{k+1}1^{k+1} $
<=> $(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}\frac{1}{k+1} $
<=> $ k+1= 3 $
<=> $k = 2 $
6 Diketahui 1 - $\sqrt 2$ adalah akar-akar dari persamaan $x^2 + ax + b = 0$. Bila b adalah bilangan bulat positif maka nilai terkecil a adalah ....
jawab
Misalkan $x_1$ = 1 - $\sqrt 2$ . Perhatikan bahwa $\sqrt 2 \approx 1,4$. Dengan demikian $x_1$ < 0. karena b > 0 dan $x_1$ < 0 maka berdasarkan kaidah persamaan kuadrat dan akar-akarnya haruslah $x_2$ < 0.
Dari persamaan $x^2 + ax + b = 0$. A = 1 , B = a dan C = b
dengan menggunakan hasil-kali-jumlah akar diperoleh
- $x_1+x_2 = - \frac{B}{A} $
<=> (1 - $\sqrt 2$) + $x_2$ = - $\frac {a}{1}$
<=> $x_2$ = $\sqrt 2$ - 1 - a .........................persamaan 1
- $x_1. x_2 = \frac{C}{A} $
<=> (1 - $\sqrt 2$) . $x_2$ = $\frac {b}{1}$
<=> $x_2$ = $\frac{b}{ 1 - \sqrt 2}$ .........................persamaan 2
Karena syaratnya adalah $x_2 < 0$ supaya nilai b > 0 maka dari persamaan 1
$x_2$ = $\sqrt 2$ - 1 - a < 0
<=> a > $\sqrt 2$ - 1
<=> a > 1,4 - 1 > $\sqrt 2$ - 1 untuk $\sqrt 2 \approx 1,4$
sehingga nilai terkecil a adalah a > 1,4 - 1
<=> a > 0,4
<=> a = 1 untuk a anggota bilangan bulat
7. Misalkan dua persamaan kuadrat mempunyai satu akar yang sama yaitu 2 dan akar-akar yang lainnya berkebalikan. Jika salah satu persamaan tersebut adalah $x^2 -ax_6 = 0 $, maka persamaan kuadrat yang lain adalah ...
Jawab
Misalkan $x_1=2$. Karena akar-akar lainnya berkebalikan maka akar-akar lainnya adalah $x_2='frack {1}{x_1}$. Dengan demikian untuk persamaan $x^2-ax+6 =0 diperoleh
- $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ <=> $2+x_2 = a$
<=> $x_2 = a -2$ ,,,,,,,,,,,,,,,persamaan 1
- $x_1 \times x_2=frac{c}{a}$ <=> $2 \times x_2 = 6$
<=> $x_2 = 3$ ,,,,,,,,,,,,,,,persamaan 2
dengan mensubtitusikan persamaan 1 dan 2 diperoleh a = 5 dan persamaannya menjadi $x^2 -5x+6 = 0$
Persamaan kuadrat lainnya yang akar-akarya adalah $x_1=2$ dan $x_2=\frac{1}{3}$ adalah:
$(x - x_1)(x-x_2)=0$
$(x - 2)(x-\frac{1}{3})=0$
$x^2 - 2 \frac{1}{3}x-\frac{2}{3}=0$
$3x^2 - 7 x-2=0$
8. Misalkan $A^{2x}=2$, maka $\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}-A^{-3x}} $ =
jawab
Misalkan $A^x = m$ maka $A^{2x} =m^2=2$
dengan demikian $\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}-A^{-3x}} $ = $\frac{m^{5}-m^{-5}}{m^{3}-m^{-3}} $ =$\frac{m^3}{m^5}\times \frac{m^{10}-1}{m^6-1} $ =$\frac{1}{m^2}\times \frac{({m^{2}})^5-1}{({m^2})^3-1} $
= $\frac{1}{2}\times \frac{(2)^5-1}{(2)^3-1} $ = $\frac{1}{2}\times \frac{(31}{7} $ = $\frac{31}{14}$
9. Diketahui barisan {$a_n$} dan {$b_n$} adalah barisan aritmatika dimana untuk {$a_1, a_2, ....,a_{100}$}, nilai $a_1=5, a_2=8$ dan untuk {$b_1, b_2, ...., b_{100}$}, nilai $b_1=3, b_2=7$. Ada berapa banyak nilai yang memenuhi $(a_n) \bigcap (b_n)$ ?
jawab,
- selisih barisan {$a_n$} adalah 3 dan suku terakhir barisan {$a_n$} adalah
$U$ = 5 +(100-1) 3 =5 + 99 . 3 =302$
Maka barisan {$a_n} = {5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ... 302}
- selisih barisan {$b_n$} adalah 4 dan suku terakhir barisan {$b_n$} adalah
$Ub_{100}$ = 3 +(100-1) 4 =3 + 99 . 4 =399$
Maka barisan {$b_n} = {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ... 302}
- Misalkan {$c_n$} adalah barisan baru yang memenuhi $(a_n) \bigcap (b_n)$ . Maka suku terakhir barisan {$c_n$} adalah $Uc_n \leq 302 $. Akan dicari nilai n yang memenuhi barisan ini. Perhatikan, barisan ini juga merupakan barisan aritmatika dengan selisih kelipatan dari barisan {$a_n$} dan {$b_n$} yakni $3 \times 4$ = 12 dan $Uc_1$ = 11. Maka:
$Uc_1 + (n_c - 1) b_c$ = Ucn $\leq$ 302
11 + $ (n_c - 1) 12 \leq 302$
11 + $ 12 n_c - 12 \leq 302$
$ 12 n_c - 1 \leq 302$$ 12 n_c \leq 303$
$ n_c \leq \frac {303}{12} = 25,25 $
maka banyaknya anggota {$c_n$} adalah barisan baru yang memenuhi $(a_n) \bigcap (b_n)$ adalah 25
No comments:
Post a Comment