latihan tray out UN SD 2019

1. Aku adalah sebuah bilangan. Jika aku dikurangi 19 kemudian dibagi -2 hasilnya adalah 14. Dua kalinya aku adalah ...
          a. 9                           b. 18                              c. -9                                    d. -18
   
   jawab
   misalkan bilangan tersebut adalah x. Maka persamaan yang dapat dibentuk adalah
   (x - 19) : - 2 = 14  berakibat   (x - 19)  =   - 2 . 14
                                                   (x - 19)  =   - 28
                                                           x    =   - 28 + 19 = -9
   
   dengan demikian dua kalinya bilangan tersebut adalah -18
   
   
2. Sebuah truk berjalan sejauh 270 km dengan waktu 5 jam. Kemudian melaju lagi. ternyata pada pukul 15.30 jarak yang ditempuh 500 km. Jika truk tersebut berangkat pukul 05.00, truk tersebut mengalami ...
      a. penambahan kecepatan sebanyak 13,4 km/jam
      b. penambahan kecepatan sebanyak 12,4 km/jam
      c. pengurangan kecepatan sebanyak 13,4 km/jam
      d. pengurangan kecepatan sebanyak 12,4 km/jam
   
   jawab
   Kecepatan rata-rata awal   truk selama 5 jam adalah 270 : 5 = 54 km/jam
   waktu perjalanan truk dari 05.00 sampai  15.30 adalah 10,5 jam
   maka selama perjalanan 500 km terakhir, waktu perjalanan truk (t) adalah 5,5 jam
   dengan demikian perubahan kecepatan truk (a) selama 5.5 jam adalah
   
         S = $V_o . t + \frac{a}{t^2} $   =>   500 = 54 . 5,5 + $\frac {1}{2} a (5,5)^2 $ 
                                   =>   500 = 297+ $\frac {1}{2}. 30,25 a  $ 
                                   =>   500 -  297 =  $\frac {1}{2}. 30,25 a  $ 
                                   =>   406 =   30,25 a 
                                   =>     a   = $\frac {406 } {30,25} = 13,42
     
3. Seorang penyelam terjun bebas dari tebing ke dalam laut dengan total tinggi 120 meter. Setelah itu dia menyelam lagi sejauh 16 meter. Jika penyelam itu berada pada kedalaman 50 meter di bawah permukaan air, maka jarak tebing ke permukaan air laut adalah ...
          a. 67 meter                     b. 73 meter                       c. 82 meter                         d. 86 meter
   
   Jawab
   
                                   
   
   maka jarak tebing ke permukaan air laut adalah    120 + 16 - 50 = 86 m
   
   
   
4. Perhatikan persegi ajaib berikut
   
   
   
   jumlah bilangan di dalam setiap kolom, baris dan diagonal adalah 24. Jika tidak ada angka yang sama, maka nilai p dan q adalah ...
          a. 12 dan 10                     b. 10 dan 12                       c. 5 dan 12                         d. 6 dan 9
   
   jawab
   misalkan  $a_{ij}$  menyatakan bilangan pada baris ke i dan kolom ke j
   
   pada kolom tengah $(a_{12}. a_{22}, a_{32})$   dan baris 1  $(a_{11}. a_{12}, a_{13})$ 
   
          8 + q + x = 7 + x + 11        8 + q = 18          q = 10
   
   pada kolom 1  $(a_{11}. a_{21}, a_{31})$   dan diagonal $(a_{31}. a_{22}, a_{13})$   
   
          7 + p + y = y + 8 + 11       7 + p = 19            p = 12
   
   jadi nilai p dan q berturut-turut adalah 12 dan 10
   
   
5. Roy dapat membuat sebuah lemari dalam waktu 15 hari dan Banu dapat membuat lemari dalam waktu 30 hari. Jika mereka bekerja bersama maka pekerjaan tersebut akan selesai dalam ...
          a. 30 hari                     b. 25 hari                       c. 15 hari                        d. 10 hari
   
   jawab
   
   untuk Roy dapat menyelesaikannya dalam 15 hari untuk 1 pekerjaan
        => Roy dalam 1 hari dapat menyelesaikan  $\frac{1}{15}$   bagian pekerjaan
   
   untuk Banu dapat menyelesaikannya dalam 30 hari untuk 1 pekerjaan
        => Banu dalam 1 hari dapat menyelesaikan   $\frac{1}{30}$    bagian pekerjaan
   
   Jika mereka bekerjasama, maka dalam 1 hari mereka dapat menyelesaikan
            $\frac{1}{15} + \frac {1}{30} = \frac{2+1}{30}=\frac{3}{30}=\frac {1}{10}$    bagian pekerjaan
   
   dengan demikian mereka dapat menyelesaikan 1 pekerjaan  dalam 10 hari
   
   
6. Perbandingan jumlah kelereng Abi dan Toni adalah 2 : 5. Sedangkan perbandingan jumlah kelereng Dodi adalah 3 : 4. Jika jumlah kelereng ketiganya adalah 246 maka selisih kelereng Dodi dan Abi ...
          a. 30                         b. 36                             c. 54                             d. 84
   
   jawab
   misalkan a : Jumlah kelereng Abi, t : Jumlah kelereng Toni, d : Jumlah kelereng Dodi
   maka  perbandingan jumlah kelereng mereka
           *  a : t = 2 : 5   setara dengan   a : t = 6 : 15
           *  t : d = 3 : 4   setara dengan   t : d = 15 : 20
   
   jadi perbandingan ketiganya
             a : t : d = 6 : 15 : 20 
   
   dengan demikian perbandingan jumlah dan kurang adalah
             ( | a - d | ) : ( | a + t + d | ) =  14 : 41
             ( | a - d | ) :        246           =  14 : 41   => | a - d | =$\frac {246 \times 14}{41}=84$
   
   
7. Pak Hadi merencanakan perbaikan rumah oleh 28 pekerja dan akan selesai selama 24 hari. Jika Pak Hadi menginginkan pekerjaan selesai dalam waktu 16 hari, banyaknya pekerja tambahan yang diperlukan adalah ...
          a. 48 orang                     b. 16 orang                          c. 42 orang                         d. 14 orang
   
   jawab
   untuk  24 hari   28 orang dapat menyelesaikan   1   pekerjaan
   
           1  hari   28 orang dapat menyelesaikan $\frac {1}{24}$   pekerjaan
   
          16 hari   28 orang dapat menyelesaikan  $\frac {16}{24}=\frac {2}{3}$   pekerjaan
   
          16 hari     1 orang dapat menyelesaikan  $\frac {1}{42}$      pekerjaan
   
   jadi banyaknya pekerja yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerja adalah 42 orang dengan perincian 28 pekerja lama + 14 pekerja tambahan.
   
   secara singkat dapat dirumuskan sebagai berikut
   misalkan x adalah pekerja tambahan
   maka     28      pekerja untuk 24 hari
              28 + x   pekerja untuk 16 hari
   
   dengan demikian  (38 + x)  . 16 = 28 . 24     =>    (28+x) = $\frac{28 \times 24}{16}$
                                                                         =>     (28+x) = 42
                                                                         =>          x     = 42 - 28 = 14 orang
   
                                                  
8. Pak Andi membuat sebuah kolem berbentuk lingkaran dimana tepi kolam akan diberi pagar kawat sebanyak 5 lapis. untuk membuat pagarnya Pak Andi sudah menyiapkan kawat sepanjang 440 m. Luas kolam yang akan dibuatkan pak Andi sebesar ... 
          a. 616                      b. 61.600                           c. 616.000                          d. 6.160.000
   
   jawab
   Kawat sepanjang 440 m digunakan untuk memagari kolam sebanyak 5 lapis, maka untuk 1 lapis dibutuhkan:
                                  K = $\frac {440}{5} = 88  $
   
   diameter lingkaran dapat dicari dengan:
                                 K = 2  $\pi . r$   
                                88 = 2 . $\frac {22}{7} . r$       =>      r = 14 m
   
   Luas kolam
   
                 L = $\pi . r^2 = \frac {22}{7} . 14^2  = 616 m^2 = 6.160.000 cm^2$        
   
   
9. Adik mempunyai 4 buah kaleng kosoong yang berdiameter 10 cm. Dia ingin mengikat ketat kaleng-kalengnya itu menggunakan seutas tali. Panjang minimum tali yang dibutuhkan adalah ... cm
          a. 40                      b. 78,5                           c. 118,5                          d. 314
   
   jawab
                                   
                              
   
                    K  = $\pi . D + 4 D = \frac {22}{7} \times 10 + 4 \times 10 = 31,4 + 40 = 71,4 cm $    
   
   
10. Volume sebuah kubus adalah  . Jika panjang sisi kubus tersebut diperkecil menjadi setengah kali semula, maka luas permukaan kubus tersebut setelah diperkecil adalah ...
           a. 3456                      b. 1944                           c. 1726                          d. 864
    
    jawab
    
    volume kubus = $s^3$
          13824        =  $s^3$
                s          = $\sqrt {13824}$ = 24 cm                    = 24 cm
    
    panjang sisi yang baru = $\frac{1}{2} \times$   panjang sisi semula = 12 cm
    
    Luas permukaan kubus yang baru =  $6 \times s^2 = 6 \times 12^2 = 864 cm^2 $  
    
    
11. Sebuah prisma memiliki alas berbentuk jajaran genjang dengan perbandingan panjang dan tinggi alas adalah 3 : 2. Jika tinggi prisma adalah 30 cm dan volume prisma   , maka ukuran panjang dan tinggi prisma tersebut adalah
           a. 9 cm dan 6 cm                     
           b. 12 cm dan 10 cm                     
           c. 6 cm dan 2 cm
           d. 15 cm dan 10 cm
    
    jawab
    misalkan panjang alas jajaran genjang = 3x                tinggi alas jajaran genjang = 2x
    maka   
              $L_{alas} =a_{jajaran genjang} \times t_{jajaran genjang} = 3x \times 2x = 6x^2$     
     
               Volume  = $L_{alas} \times t_{prisma} $
             $2880 cm^2 = 6x^2 \times 30$
             $2880 cm^2 = 180 x^2 $
                   $x^2 $       =  $\frac {2880}{180} = 16$
                   x          =   4 cm
    
    dengan demikian panjang alas = 3 . 4 = 12 cm
                                 tinggi alas    = 2 . 4 =   8 cm
    
    
12.  Perhatikan gambar berikut ini
    
    
    
    Limas memiliki alas berbentuk persegi panjang. Jika diketahui volumenya adalah   , maka luas bidang diagonal bangun tersebut adalah ... 
           a. 300                      b. 400                           c. 450                          d. 550
    
    jawab
    
        volume  = $\frac {1}{3} \times L_{alas} \times t_{limas}$ 
        2880 $cm^3 = \frac {1}{3} (12 \times 16) \times t_{limas}$
                      = $64 \times t_{limas}$
    $t_{limas} = \frac {2880}{64} = 45$ cm
    
    diagonal alas = $\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt {144+256}=\sqrt{400} = 20$ cm   
    
    dengan demikian luas bidang diagonal = $\frac {1}{2} \times p_{diagonal alas} t_{limas} =\frac{1}{2} \times 20 \times 45= 450 cm^2$   
    
    

Soal Hots SMP November 2019

1. Perhatikan gambar berikut!
   
   
   
   Jika 4 lingkaran berjari-jari 1 cm, maka jari-jari lingkaran yang besar adalah ...
   
   Jawab
   
   
   
   karena AB adalah jari-jari lingkaran kecil maka panjang AB = 1 cm
   panjang jari-jari lingkaran besar = AB + BO

BO = $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$

dengan demikian panjang jari-jari lingkaran adalah  1+$\sqrt{2}$   cm

 

2. Perhatikan gambar berikut!

                                    

      Hitunglah panjang CE!

jawab

perhatikan EA = EF = x  dan FC = CB = 12 cm. Bila O adalah titik pusat lingkaran, maka

  

                

 

perhatikan segitiga ECD

 $EC$2 = CD^2+DE^2 $

$(12+x)^2=(12-x)^2+144 

 144 + 24x +x$^2$ = 144 -24x+x$^2$+144

                         48 x = 144

x = 3

maka panjang CE = x + 12 = 3 + 12 = 15 cm

 

3. Suatu garis yang melalui titik (0, 0) membagi persegi panjang dengan titik sudut (1, 0), (5, 0), (1, 12) dan (5, 12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah ...

Jawab

Perhatikan gambar berikut!

 

                        

 

perhatikan daerah berwarna hijau

 $\frac{x}{12-x}=\frac{1}{5} $     =>  5x = 12x - 5      =>    x = 2

Dengan demikian titik potong yang lain dengan garis y = f (x) adalah (1,2) dan (5, 10).

gradien garis y adalah

 $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{10-2}{5-1}=\frac{8}{4}=2 $

SOAL HOTS SMA November 2019 (bagian 2)

Latihan soal

1. Bila diketahui $\lim_{x\to 4}\frac{ax+b-\sqrt x}{x-4}=\frac{3}{4}$ maka a + b adalah ..

jawab

misalkan f(x)=$ ax+b-\sqrt x$ dan g(x) = x - 4

untuk  x = 4,  bila $\frac{f(4)}{g(4)}=\frac{0}{0}$, maka

                        $ 4x+b-\sqrt 4$ = 0    =>    4a +b -2 = 0      ............................persamaan 1

 dengan menggunakan dalil D'Hospital maka

 $\lim_{x\to 4}\frac{ax+b-\sqrt x}{x-4}$ = $\lim_{x\to 4}(a-\frac{1}{2 . \sqrt x})$=$\lim_{x\to 4}(a-\frac{1}{2 . \sqrt 4})$

                         $\frac{3}{4}$  =   $\lim_{x\to 4}(a-\frac{1}{4})$

            <=>        a = $\frac{3}{4}+\frac {1}{4} = 1$ .................................................. persamaan 2

 dengan mensubtitusikan nilai a  ke persamaan 1, diperoleh b = -2

dengan demikian:c           a + b = 1 + (-2) = -1

 

2. Luas daerah di antara   kurva y = 2a + 1 dan kurva   selalu bernilai konstan yaitu k. Maka nilai k = ....

Jawab:

Daerah yang dibatasi kurva  y = 2a + 1 dan y = $x^2 + 2a $  ditunjukan sebagai berikut:

                        

 dengan demikian luas daerah yang dibatasi kurva y = $x^2 + 2a $ adalah

 $\int_{-1}^{1}[(2a+1)-(x^2+2a)]dx$ =  $\int_{-1}^{1}[(1-x^2)]dx$

                                                   = [x -$\frac{1}{3}x^3]_{-1}^{1}$  = $(1 -(-1)-(\frac{1^3}{3}-(\frac{(-1)^3}{3})) $

                                                   = 2 - ($\frac{1}{3}+\frac{1}{3})=1\frac{1}{3}$

 

 3.Diketahui fungsi f(x)=f(x +2) untuk setiap x. Jika $\int_{0}^{2}f(x)dx=B$ maka $int_{3}^{7}f(x+8)dx=...$

jawab

misalkan  $\int_{0}^{1}f(x)dx=A$     .........................................persamaan 1

maka  $\int_{0}^{2}f(x)dxB$ =  $\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{1}^{2}f(x)dx$  

B        =  A     +    $\int_{1}^{2}f(x)dx$ 

        <=>               $\int_{1}^{2}f(x)dx$  = B - A ........................................................persamaan 2

Sekarang perhatikan polanya.

misalkan m = x + 2,

karena f (x) = f (x+2)     <=>     f (x) = f (m) = f (m+2) = f ((x+2)+2) = f (x+4) 

Bila pola ini berlanjut   <=>     f (x) = f (x+2) = f (x+4) = f ((x+6)) = f (x+8) = ...    .........persamaan 3

 dengan demikian , dari persamaan 3 diperoleh

$\int_{3}^{7}f(x+8) dx = \int_{3}^{4}f(x+8) dx + \int_{4}^{6}f(x+8) dx + \int_{6}^{7}f(x+8) dx $

   <=>            $\int_{3}^{7}f(x) dx = \int_{3}^{4}f(x) dx + \int_{4}^{6}f(x) dx + \int_{6}^{7}f(x) dx $

Sekarang, akan ditentukan nilai masing-masing dari $ \int_{3}^{4}f(x) dx $, $ \int_{4}^{6}f(x) dx $ dan $ \int_{6}^{7}f(x) dx $

• misalkan   x = u + 2   dan      du = dx 

    bila       x = 3 maka u = 1

                         x = 4 maka u = 2

dari persamaan 2 dan persamaan 3, maka diperoleh:  

$ \int_{3}^{4}f(x) dx $ = $ \int_{1}^{2}f(u) du $ = $ \int_{1}^{2}f(x) dx $ = B - A

 

• misalkan   x = u + 4   dan      du = dx 

    bila       x = 4 maka u = 0

                         x = 6 maka u = 2

dari soal dan persamaan 3, maka diperoleh:  

$ \int_{4}^{6}f(x) dx $ = $ \int_{0}^{2}f(u) du $ = $ \int_{0}^{2}f(x) dx $ = B 

 

• misalkan   x = u + 6   dan      du = dx 

    bila       x = 7 maka u = 1

                         x = 6 maka u = 0

dari persamaan 1 dan persamaan 3, maka diperoleh:  

$ \int_{6}^{7}f(x) dx $ = $ \int_{0}^{1}f(u) du $ = $ \int_{0}^{1}f(x) dx $ = A 

 Sehingga didapatkan 

  $\int_{3}^{7}f(x) dx = \int_{3}^{4}f(x) dx + \int_{4}^{6}f(x) dx + \int_{6}^{7}f(x) dx $

         <=>      =    (B - A)      +         B         +        A 

         <=>      =   2 B

 

4. Misalkan daerah D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, garis y = 4 dan y = $x^2 $. Jika garis y = k membagi 2 daerah D sama besar maka $k^3$ = ...

     jawab misalkan daerah D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu D

                                            

maka luas daerah yang dibatasi oleh sumu Y, garis y = 4 dan y =$x^2$ adalah

$\int_{0}{2}(4-x^2)dx$ = $[4x-\frac{1}{3}x^3]_{0}^{2} $=  $[\frac{1}{3}2^3-\frac{1}{3}2^3]_{0}^{2} $

                                         = 8 - $\frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

 

garis y = k membagi luas daerah D, maka interval 0 < k < 4 adalah batas daerah di wilayah antara y = k, sumbu Y dan y = x$^2$ . Dengan demikian

Luas daerahnya  =$\int_{0}{k} \sqrt{y} $ dy

     <=>       $\frac {8}{3} $     = $\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}]_{0}^{k} $

                    <=>       $\frac {8}{3} $     = $\frac{2}{3}k^{\frac{3}{2}} $ 

                   <=>         4     = $k^{\frac{3}{2}} $     

                    <=>        $k^3 $     =   16

5. Diketahui f(x) = $x^k$ dan g(x) =x. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva g, sumbu X dan x = 1. Kurva f membagi daerah D menjadi dua daerah D1dan D2 dengan perbandingan luas 1 : 2 . Jika D1 adalah daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g, maka k = ...

        jawab: gambar berikut menunjukan kurva yang dibatasi oleh kurva g, sumbu X dan x =1

                              

perhatikan titik potong kurva y = x dan f(x) = $x^k$ terletak pada (0,0), (1,1) dan f(x) membagi D bila k > 0  

                                          

dengan demikiaan

$\int_{0}^{1}(x-x^k) dx : \int_{0}^{1}(x^k) dx = 1:2 $

                <=> 2 . $\int_{0}^{1}(x-x^k) dx =  \int_{0}^{1}(x^k) dx $

                <=> 2 . $\int_{0}^{1}(x) dx - 2 \int_{0}^{1}(x^k) dx =  \int_{0}^{1}(x^k) dx $

                <=> 2 . $\int_{0}^{1}(x) dx = 3 \int_{0}^{1}(x^k) dx $

         <=>   $\int_{0}^{1}(x) dx = \frac{3}{2} \int_{0}^{1}(x^k) dx $

                 <=>    $\frac{1}{2}x^2]_{0}^{1} = \frac{3}{2}\frac{1}{k+1}x^{k+1}]_{0}^{1}  $ 

                 <=>    $(\frac{1}{2}1^2) = \frac{3}{2}\frac{1}{k+1}1^{k+1}  $ 

                 <=>    $(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}\frac{1}{k+1}  $ 

                  <=>    $ k+1= 3  $ 

                  <=>    $k = 2  $ 

6 Diketahui 1 - $\sqrt 2$ adalah akar-akar dari persamaan $x^2 + ax + b = 0$. Bila b adalah bilangan bulat positif maka nilai terkecil a adalah .... 

jawab 

Misalkan $x_1$ = 1 - $\sqrt 2$ . Perhatikan bahwa $\sqrt 2 \approx 1,4$. Dengan demikian $x_1$ < 0. karena b > 0 dan  $x_1$ < 0 maka berdasarkan kaidah persamaan kuadrat dan akar-akarnya haruslah $x_2$ < 0.

 

Dari persamaan $x^2 + ax + b = 0$.  A = 1 , B = a dan  C = b

dengan menggunakan hasil-kali-jumlah akar diperoleh

• $x_1+x_2 = - \frac{B}{A} $

                     <=> (1 - $\sqrt 2$) +  $x_2$ = - $\frac {a}{1}$

               <=>      $x_2$ =  $\sqrt 2$ - 1 - a   .........................persamaan 1

 

• $x_1. x_2 =  \frac{C}{A} $

                     <=> (1 - $\sqrt 2$) .  $x_2$ =  $\frac {b}{1}$

               <=>      $x_2$ = $\frac{b}{ 1 - \sqrt 2}$    .........................persamaan 2

 

                  Karena syaratnya adalah $x_2  < 0$ supaya nilai b > 0 maka dari persamaan 1 

  $x_2$ =  $\sqrt 2$ - 1 - a < 0

<=>         a > $\sqrt 2$ - 1

<=>         a  > 1,4 - 1  > $\sqrt 2$ - 1       untuk   $\sqrt 2 \approx 1,4$

sehingga nilai  terkecil a  adalah a  > 1,4 - 1 

                                     <=>         a  > 0,4    

                                     <=>         a  = 1        untuk a anggota bilangan bulat

7. Misalkan dua persamaan kuadrat mempunyai satu akar yang sama yaitu 2 dan akar-akar yang lainnya berkebalikan. Jika salah satu persamaan tersebut adalah $x^2 -ax_6 = 0 $, maka persamaan kuadrat yang lain adalah ...

 Jawab

Misalkan $x_1=2$. Karena akar-akar lainnya berkebalikan maka akar-akar lainnya adalah  $x_2='frack {1}{x_1}$. Dengan demikian untuk persamaan $x^2-ax+6 =0 diperoleh

•  $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$           <=>    $2+x_2 = a$

                                                       <=>    $x_2 = a -2$  ,,,,,,,,,,,,,,,persamaan 1

• $x_1 \times  x_2=frac{c}{a}$       <=>    $2 \times x_2 = 6$

                                                        <=>    $x_2 = 3$   ,,,,,,,,,,,,,,,persamaan 2

        dengan  mensubtitusikan persamaan 1 dan 2 diperoleh a = 5 dan persamaannya menjadi $x^2 -5x+6 = 0$

Persamaan kuadrat lainnya yang akar-akarya adalah $x_1=2$ dan $x_2=\frac{1}{3}$ adalah:

$(x - x_1)(x-x_2)=0$

$(x - 2)(x-\frac{1}{3})=0$

$x^2 - 2 \frac{1}{3}x-\frac{2}{3}=0$ 

                $3x^2 - 7 x-2=0$ 

8. Misalkan $A^{2x}=2$, maka $\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}-A^{-3x}} $ =

jawab 

Misalkan $A^x = m$   maka $A^{2x} =m^2=2$

dengan demikian  $\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}-A^{-3x}} $ = $\frac{m^{5}-m^{-5}}{m^{3}-m^{-3}} $ =$\frac{m^3}{m^5}\times \frac{m^{10}-1}{m^6-1} $ =$\frac{1}{m^2}\times \frac{({m^{2}})^5-1}{({m^2})^3-1} $ 

                                             =  $\frac{1}{2}\times \frac{(2)^5-1}{(2)^3-1} $ =   $\frac{1}{2}\times \frac{(31}{7} $ =   $\frac{31}{14}$ 

9. Diketahui barisan {$a_n$} dan {$b_n$}  adalah barisan aritmatika dimana untuk {$a_1, a_2, ....,a_{100}$}, nilai $a_1=5, a_2=8$ dan untuk {$b_1, b_2, ...., b_{100}$}, nilai $b_1=3, b_2=7$. Ada berapa banyak nilai yang memenuhi $(a_n) \bigcap (b_n)$ ?

jawab, 

• selisih barisan {$a_n$} adalah 3 dan suku terakhir barisan {$a_n$} adalah

 $U$ = 5 +(100-1) 3 =5 + 99 . 3 =302$

Maka barisan {$a_n} = {5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ... 302}

 

• selisih barisan {$b_n$} adalah 4 dan suku terakhir barisan {$b_n$} adalah

 $Ub_{100}$ = 3 +(100-1) 4 =3 + 99 . 4 =399$

Maka barisan {$b_n} = {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ... 302}

 

• Misalkan {$c_n$} adalah barisan baru yang memenuhi   $(a_n) \bigcap (b_n)$ . Maka suku terakhir barisan {$c_n$} adalah $Uc_n \leq 302 $. Akan dicari nilai n yang memenuhi barisan ini. Perhatikan, barisan ini juga merupakan barisan aritmatika dengan selisih kelipatan dari barisan {$a_n$} dan {$b_n$} yakni $3 \times 4$ = 12 dan $Uc_1$ = 11. Maka:

                         $Uc_1 + (n_c - 1) b_c$  = Ucn $\leq$ 302

          11 + $ (n_c - 1) 12 \leq 302$

                                11 +  $ 12 n_c - 12 \leq 302$

                  $ 12 n_c - 1 \leq 302$

                   $ 12 n_c \leq 303$

            $ n_c \leq \frac {303}{12} = 25,25 $

maka banyaknya anggota {$c_n$} adalah barisan baru yang memenuhi   $(a_n) \bigcap (b_n)$  adalah 25

 

Soal barisan dan deret

1. Diketahui 3 bilangan membentuk barisan aritmatika. Jumlah ketiga barisan tersebut adalah 45. Jika suku pertama dikurangi 1 dan suku ketiga ditambah 5 maka membentuk barisan geometri dengan rasio r. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan geometrinya.
   
   Jawab
   U1, U2, U3  membentuk barisan aritmatika
          U1 +      U2    +     U3      = 45
           a   + (a + b)  + (a + 2b)  = 45
                           3a  + 3b           = 45
                             a  +  b            = 15 
   
   3 barisan tersebut akan membentuk barisan geometri bila:
      (a - 1) : (a + b) = (a + b) : (a + 2b + 5)
      (a - 1) :     15    =      15    : (15 + b + 5)
      (a - 1) :     15    =      15    :     (20 + b )
      (a - 1) :     15    =      15    : (20 + 15 - a )
      (a - 1) :     15    =      15    :     (35 - a )
      (a - 1) (35 - a ) = 225
      $-a^2+36a-35 =225$
       $a^2+36a+260 =0$
      
    berakibat a = 10 dan  atau a = 26 dan b = -11
   
   *  untuk a =  10  berakibat b = 5
   
        barisan aritmatika
            U1 = a = 10, U2 = a + b = 15, U3 = a + 2b = 10 +2.5 = 20
   
        barisan geometri yang baru adalah
            U1 =  a - 1 = 9, U2 = a + b = 15, U3 = a + 2b + 5 = 20 + 5 = 25
   
        Jumlah 5 barisan pertama geometri
   
              $r = \frac{u_2}{u_1}=\frac{15}{9} =\frac{5}{3}$
   
              $S_5 =\frac {a(r^5 - 1)}{r - 1} = \frac {9({5/3}^5 - 1)}{(5/3 - 1}= \frac {9(\frac {3125}{243} - 1)}{2/3}=  \frac {9(\frac {2882}{243})}{2/3}= \frac {1441}{9}=160 \frac{1}{9}$
   
           
    * untuk a =  26  berakibat b = -11
   
       barisan aritmatika
             U1 = a = 26, U2 = a + b = 15, U3 = a + 2b = 26 +2.(-11) = 4
   
       barisan geometri yang baru adalah
             U1 =  a - 1 = 25, U2 = a + b = 15, U3 = a + 2b + 5 = 4 + 5 = 9
   
       Jumlah 5 barisan pertama geometri
              $r=\frac{u_2}{u_1}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$
   
    
              $S_5 =\frac {a(r^5 - 1)}{r - 1} = \frac {25({3/5}^5 - 1)}{(3/5 - 1}= \frac {25(\frac {243}{3125} - 1)}{-2/5}=  \frac {25(-\frac {2882}{3125})}{-2/5}= \frac {1441}{25}=57 \frac{16}{35}$
   
       
                   
   
2. Sebuah tali dipotong menjadi lima bagian yang mana setiap potong mempunyai panjang tertentu dan membentuk barisan geometri. Jika potongan ke-1  panjangnya 2 m dan potongan terakhir 512 m. tentukan panjang tali mula-mula.
   
   Jawab:
   a = 2,  $u_5 = 512$
   
   $u_n = ar^{n-1}$
   $u_5 = 2 . r^{5-1}$
   512 = $2r^4$
   $r=\sqrt [4]{256}=\pm 4$      pilih r = 4
   
   
   maka panjang tali mula-mula
   $S_5=\frac{a(r^5-1)}{r-1}=\frac{2(4^5-1)}{4-1}=\frac{2(1024-1)}{3}=\frac{2 \times 1023}{3}=\frac{2069}{3}= 682$
   
   
   
3. Berapa jumlah bilangan yang habis dibagi 3 dari 1 - 100 dan tidak habis dibagi 5?
   
   jawab
   bilangan 1 - 100 yang habis dibagi 3
         3, 6, 9, 12, ... , 99   berakibat a = 3 dan b = 3
      
         $u_n= a + (n-1) b$
         99  =  3  + (n - 1) 3
         99  =  3  + 3n - 3
         99  = 3n               berakibat         n  = 33
    
             $S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$
   
            $S_{33} = \frac{33}{2}(3 + 99)=\frac{33}{2}(102)=1683$
   
   bilangan antara 1-100 yang habis dibagi 15
         15, 30, 45, 60, ... , 90    berakibat a = 15 dan b = 15
   
         $u_n= a + (n-1) b$ 
         90  =  15  + (n - 1) 15
         90  =  15  + 15n - 15
         90  = 15n               berakibat         n  = 6 
   
        $S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$
   
            $S_{6} = \frac{6}{2}(15 + 90)=\frac{6}{2}(105)=315$
     
   
      jadi jumlah bilangan antara 1 - 100 yang habis dibagi 3 dan tidak habis dibagi 5 adalah
               1683 - 315 =  1368
   
   
4. Suatu bakteri membelah menjadi 2 setiap 15 detik. Jika mula-mula terdapat 12 bakteri, tentukan jumlah bakteri setelah 2 jam 30 menit 10 detik!
   
    waktu                  0 dtk       15 dtk     30 dtk      45 dtk        ...
    periode ke-n         0               1              2             3             ...
    jumlah bakteri     12             24           48            96            ...
   
   dalam 2 jam 30 menit 10 detik = 2 . 60 . 60 + 30 . 60 + 10 = 7390 dtk
   ada dalam periode
   
             $S_n=\frac{7390}{15}=142 \frac{2}{3} \approx 142 $
   
   jadi jumlah bakteri =
   
            $u_n= a.r^{n-1} $         
          
            $u_{142} = 24 \times 2^{142-1}= 24 \times 2^{141 }=3 \times 2^3 \times 2^{141} = 3 \times 2^{144}$
   
           
5. Terdapat sejumlah bakteri di suatu tempat. Jika suatu obat bisa membunuh 50 bakteri setiap 2 menit, tentukan banyak bakteri mula-mula jika pada 1 jam pertama tersisa 250 bakteri?
   
   jawab
    waktu                  0 mnt       2 mnt         4 mnt                6 mnt             ...     60 mnt
    periode ke-n         0                1                 2                       3                 ...       n
    jumlah bakteri      x             x - 50    (x - 50) - 50    ((x - 50) - 50)        ...      250
   
   dengan demikian a = x, b = -50  dan $u_{n+1}=250$
     
   dalam 1 jam :
   
              $n=\frac{60}{2}=30$
   
   maka jumlah bakteri mula-mula
   
            $u_{n+1}= a + ((n+1) - 1)b$
   
                 250    =  x + 30 (-50)
                 250    = x + 4500
                 x    = 4250 bakteri
   
   
6. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 3 m dan memantul kembali 5/8 tinggi mula-mula. Tentukan jarak yang ditempuh bola sampai berhenti!
   
   jawab
   
   
   
        $S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$
   
   Barisan turun
   
        $u_1=3m,  u_2 = \frac {15}{8}m, u_3 =\frac {75}{64}, ..., 0$
   
        $S_{\infty}= \frac{a}{1-r}$       =>    $S_{turun} = \frac {3}{1-5/8}=8 m$
   
   
   Barisan naik
   
   
        $u_1=15 m,  u_2 = \frac {75}{64}m, u_3 =\frac {375}{512}, ..., 0$
   
        $S_{\infty}= \frac{a}{1-r}$       =>    $S_{naik} = \frac {5/8}{1-5/8}=\frac{5}{3} m$
   
   maka total lintasan  $8+\frac {5}{3} = 9 \frac {2}{3}$

Lingkaran

A. Definisi Lingkaran
Lingkaran adalah kumpulan titik-titik pada bidang datar yang jaraknya sama terhadap suatu titik tertentu.

B. Unsur-unsur yang terdapat dalam lingkaran

1. Jari-jari
   jari-jari adalah segmen garis yang menghubungkan titik pusa dengan suatu titik pada lingkaran. Panjang jari-jari sepanjang segmen garis tersebut. Jari-jari lingkaran biasanya disimbolkan dengan r. 
   
   
2. Busur lingkaran
   Busur lingkaran adalah garis lengkung bagian penutup lingkaran
   
   
3. Tali busur
   tali busur merupakan segmen garis yang ujung-ujungnya terletak pada lingkaran
   
   
4. Diameter
   merupakan tali busur yang melalui titik pusat lingkaran. Diameter membagi lingkaran menjadi 2 bagian sama besar. Diameter biasanya disimbolkan dengan D. panjang dari diameter adalah 
   
   
   D = 2r
   
   
5. Apotema
   Apotema adalah garis yang terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran
   
   
6. Keliling lingkaran
   Keliling adalah busur terpanjang pada lingkaran. Panjang keliling lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus :
   Keliling ( K ) $=\pi \times diameter (D)=2\times \pi \times r$  
   
   dimana $\displaystyle \pi = \frac{22}{7} \approx 3,14  $ 
      
7. Juring
   juring lingkaran adalah bidang yang dibatasi oleh busur lingkaran dan dua jari-jari lingkaran. Pada dasarnya juring lingkaran merupakan fraksi (pecahan) sebuah lingkaran.
   
   
8. Tembereng
   Tembereng merupakan daerah yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur
   
   
9. Luas lingkaran
   Luas adalah daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Luas lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
   
                 Luas lingkaran ( L ) $\displaystyle \pi \times r^2=\frac{1}{4}\times \pi \times D^2$